§4. Цилиндрическая система координат в пространстве
Цилиндрическая система координат в пространстве – “родственница” полярной системы координат на плоскости. Чтобы получить цилиндрическую систему надо на плоскости ввести полярную систему координат и добавить вертикальную координатную ось. Т.о., координаты точки – три числа: первые два – полярные координаты проекции нашей точки на плоскость, третье – величина проекции точки на вертикальную ось.
Из геометрических соображений можно получить формулы перехода между цилиндрической и декартовой системами координат. В случае, изображённом на рисунке, формулы перехода такие:
x = ρ·cosφ,
y = ρ·sinφ,
z = z.
§5. Сферическая система координат в пространстве
Сферическая система координат вводится следующим образом: фиксируем плоскость, на ней -- точку О начала координат, а из точки О выпускаем луч, перпендикулярный плоскости, и луч, лежащий в плоскости. Положение точки М задаётся тремя числами: первое – расстояние от начала координат О до точки М; второе – угол между проекцией отрезка ОМ на плоскость и лежащим в плоскости лучом; третье – угол между перпендикулярным плоскости лучом и отрезком ОМ.
Из геометрических соображений можно получить формулы перехода между сферической и декартовой системами координат. В случае, изображённом на рисунке, формулы перехода такие:
x = ρ·sinθ·cosφ,
y = ρ·sinθ·sinφ,
z = ρ·cosθ.
Системы координат 3
Линии на плоскости 8
Линии первого порядка. Прямые на плоскости. 10
Угол между прямыми 12
Общее уравнение прямой 13
Неполное уравнение первой степени 14
Уравнение прямой “в отрезках” 14
Совместное исследование уравнений двух прямых 15
Нормаль к прямой 15
Угол между двумя прямыми 16
Каноническое уравнение прямой 16
Параметрические уравнения прямой 17
Нормальное (нормированное) уравнение прямой 18
Расстояние от точки до прямой 19
Уравнение пучка прямых 20
Примеры задач на тему «прямая на плоскости» 22
Векторное произведение векторов 24
Свойства векторного произведения 24
Геометрические свойства 24
Алгебраические свойства 25
Выражение векторного произведения через координаты сомножителей 26
Смешанное произведение трёх векторов 28
Геометрический смысл смешанного произведения 28
Выражение смешанного произведения через координаты векторов 29
Примеры решения задач по теме: «Векторная алгебра». 30
Поверхности в пространстве 33
Плоскость 33
Неполные уравнения плоскости 35
Уравнение плоскости в «отрезках» 35
Угол между плоскостями 36
Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой 37
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. 38
Расстояние от точки до плоскости 39
Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду 40
Примеры задач на тему «Плоскость». 40
Линии в пространстве. Прямая в пространстве 45
Канонические уравнения прямой в пространстве 46
Параметрические уравнения прямой 47
Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки 47
Угол между двумя прямыми в пространстве 48
Угол между прямой и плоскостью 48
Условие принадлежности двух прямых одной плоскости 49
Некоторые задачи на построение прямых и плоскостей 49
Примеры решения задач по теме «Аналитическая геометрия» 54
Кривые второго порядка 58
Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду 58
Эллипс 61
Вывод уравнения эллипса 61
Гипербола 63
Парабола 64
Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка». 65