Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Пусть прямые заданы каноническими уравнениями:

: ;:.

Для принадлежности прямыхиодной плоскостинеобходимо и достаточно, чтобы три вектора,ибыли компланарны:

. (7)

Очевидно, что в этом случае прямые или параллельны, или пересекаются.

Для того чтобы прямые пересекались, нужно, чтобы выполнялось условие (7), а направляющие векторы прямых не были параллельны, то есть нарушалось хотя бы одно из равенств: .

Некоторые задачи на построение прямых и плоскостей

Задача 1.Найти уравнение плоскости, проходящей через точкуи перпендикулярной заданной прямой:.

Кратко: -? :,.

Решение.

Т.к. , то нормалью к плоскости можно считать направляющий вектор прямой:=. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через заданную точку.

: .

Задача 2.Найти уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую:и точку.

Кратко. -? :,.

По условию задачи нам известны две точки, лежащие в плоскости: ,, и вектор, параллельный плоскости. Произвольная точкабудет принадлежать плоскости, если векторыбудут компланарны:

.

Это и есть уравнение искомой плоскости. Раскрыв определитель, можно получить общее уравнение плоскости.

Задача 3.Построить плоскость, проходящую через две заданные параллельные прямые:и:.

-?: ,,.

Эта задача может решаться аналогично предыдущей. Известны две точки и, лежащие в плоскости, и вектор (или), параллельный плоскости. Произвольная точкабудет принадлежать плоскости, если выполняется условие компланарности трех векторов:

–это уравнение искомой плоскости.

Аналогично решается задача построения плоскости , проходящей через две пересекающиеся прямые.

Задача 4. Найти уравнение прямой , проходящей через заданную точкуи перпендикулярной плоскости:

Решение. Так как прямая L перпендикулярна плоскости , то ее направляющий вектор параллелен нормали к плоскости. Следовательно, нормаль к плоскостиможет служить направляющим вектором прямойL. Запишем каноническое уравнение прямой:

.

Задача 5.Построить прямую, перпендикулярную двум скрещивающимся прямым.

: и:,

и проходящую через заданную точку .

Решение. Так как прямая L перпендикулярна к прямым L₁ и L₂, то ее направляющий вектор можно найти как векторное произведение направляющих векторов этих прямых:

.

Тогда можно составить каноническое уравнение искомой прямой:

.

Задача 6. Найти точку пересечения прямой :и плоскости.

Решение. Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно решить совместно уравнения прямой и плоскости:

Для этого приведем уравнение прямой к параметрическому виду:

(*)

и подставим выражения в уравнение плоскости.

Решим полученное уравнение с одной неизвестной t, а найденное значение подставим в (*). Полученные значения будут координатами искомой точки пересечения.

Задача 7. Через точку провести прямую, перпендикулярную заданной прямой:.

Решение.

1). Сначала через точку проведем плоскость, перпендикулярную прямой:

.

2). Найдем точку пересечения прямой и плоскости :. Для этого решим систему уравнений прямой и плоскости:

3). Через две точки ипроведем прямуюL: .

Задача 8.Найти проекцию точкина плоскость:.

Решение.

а) Найдем прямую , проходящую через точку и перпендикулярную плоскости:

.

б) Найдем точку пересечения прямой L и плоскости :(см. задачу 6).

Точка М₁ – это искомая проекция.

Задача 9. Найти проекцию точки на прямую:.

Решение.

а) Проводим плоскость :,.

: .

б) – это искомая проекция.

Задача 10. Найти проекцию прямой :на плоскость .

а) Через прямую проводим плоскость :. Используем условие компланарности трех векторов:.

После преобразований получим общее уравнение плоскости .

б) Искомая прямая задается пересечением двух плоскостей :и:

Осталось привести уравнение к каноничному виду.

Задача 11. Найти расстояние от точки до прямой.

а) Найти точку – проекцию точкина прямую.

б) Длина вектора – это искомое расстояние.

Задача 12. Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми и.

а) Через прямую проводим плоскость:.

б) Находим расстояние от любой точки до.