Примеры решения задач по теме «Аналитическая геометрия»

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника A(2;2), B(-2;-8),C(-6;-2).

Требуется составить уравнение высоты BD и определить острый угол между этой высотой и стороной BC.

Решение. Найдём уравнение стороны AC по формуле

или , где угловой коэффициент .

Уравнение высоты BD: , гдеи- координаты точкиВ. Здесь .

y+8=-2(x+2) или 2x+y+12=0.

Запишем уравнение стороны BC и найдём :или

3x+2y+22=0, .

Тогда, поскольку угол DBC=должен быть острым,

и .

Задача 2. Найти проекцию т. M(-3;3;3) на прямую

Решение. Через т. М проводим плоскость, перпендикулярную данной прямой. Точка пересечения этой плоскости с данной прямой и будет искомой точкой N.

Направляющий вектор прямой

.

Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно заданной прямой:

-4(x + 3) + 2(y - 3) - 2(z - 3) = 0 или 2x –y + z + 6 = 0. Теперь нужно найти точку пересечения этой плоскости и данной прямой. Для этого решим систему уравнений прямой и плоскости. Решаем методом Крамера.

.

Искомая точка N(-3;1;1).

Задача 3. Найти точку М пересечения прямой и плоскости 2x +y + 7z – 3 = 0.

Решение. Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно решить систему уравнений прямой и плоскости. Это удобно сделать так. Запишем уравнение прямой в параметрической форме:

Подставим выражение x, y, z через параметр t в уравнение плоскости:

2(3t + 7) + (t + 3) -7(2t + 1) – 3 = 0.

Откуда получаем t= 1, поэтому точка пересечения имеет координаты

x = 3 + 7 = 10, y = 1 + 3 = 4,z = -2 -1 = -3,т.е. М(10,4,3).

Системы координат 3

Линии на плоскости 8

Линии первого порядка. Прямые на плоскости. 10

Угол между прямыми 12

Общее уравнение прямой 13

Неполное уравнение первой степени 14

Уравнение прямой “в отрезках” 14

Совместное исследование уравнений двух прямых 15

Нормаль к прямой 15

Угол между двумя прямыми 16

Каноническое уравнение прямой 16

Параметрические уравнения прямой 17

Нормальное (нормированное) уравнение прямой 18

Расстояние от точки до прямой 19

Уравнение пучка прямых 20

Примеры задач на тему «прямая на плоскости» 22

Векторное произведение векторов 24

Свойства векторного произведения 24

Геометрические свойства 24

Алгебраические свойства 25

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей 26

Смешанное произведение трёх векторов 28

Геометрический смысл смешанного произведения 28

Выражение смешанного произведения через координаты векторов 29

Примеры решения задач по теме: «Векторная алгебра». 30

Поверхности в пространстве 33

Плоскость 33

Неполные уравнения плоскости 35

Уравнение плоскости в «отрезках» 35

Угол между плоскостями 36

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой 37

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. 38

Расстояние от точки до плоскости 39

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду 40

Примеры задач на тему «Плоскость». 40

Линии в пространстве. Прямая в пространстве 46

Канонические уравнения прямой в пространстве 47

Параметрические уравнения прямой 48

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки 48

Угол между двумя прямыми в пространстве 49

Угол между прямой и плоскостью 49

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости 50

Некоторые задачи на построение прямых и плоскостей 50

Примеры решения задач по теме «Аналитическая геометрия» 55

Кривые второго порядка 59

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду 59

Эллипс 62

Вывод уравнения эллипса 62

Гипербола 64

Парабола 65

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка». 66