- •Вінницький національний технічний університет
- • В.А. Огородніков, о.В. Грушко, і.Ю. Кириця, 2010 зміст
- •Задача 7. Розрахунок стержня на позацентровий стиск 12
- •Додаток а. Оформлення розрахунково-графічної роботи 123
- •Порядок та основні вимоги до виконання роботи
- •1 Складний опір (combined stress)
- •1.1 Позацентрове розтягання (стискання) прямого бруса
- •1.1.1 Короткі теоретичні відомості
- •1.1.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •1.2 Згинання з крученням (bending combined with torsion)
- •1.2.1 Короткі теоретичні відомості
- •1.2.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •1.2.3 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •2. Енергетичні методи визначення переміщень
- •2.1. Короткі теоретичні відомості
- •2.1.1 Узагальнені сили і переміщення
- •2.1.2 Загальна формула для визначення переміщень. Метод Мора
- •2.1.3 Обчислення інтегралів Мора способом Верещагіна
- •2.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •Розв’язування
- •3. Статично невизначувані системи (statically indeterminate system)
- •3.1 Короткі теоретичні відомості
- •3.1.1 Основні поняття та визначення
- •3.1.2 Канонічні рівняння (canonical equations) методу сил
- •3.1.3 Визначення переміщень у статично невизначуваних системах
- •3.1.4 Контроль правильності розв'язання статично невизначуваної системи
- •3.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •4 Стійкість стиснутих стрижнів (buckling)
- •4.1 Короткі теоретичні відомості
- •4.1.1 Стійка та нестійка пружна рівновага
- •4.1.2 Формула Ейлера для визначення критичної сили стиснутого стрижня
- •4.1.3 Вплив умов закріплення кінців стрижня на значення критичної сили
- •4.1.4 Поняття про втрату стійкості при напруженнях, що перевищують границю пропорційності
- •4.1.5 Розрахунки на стійкість за допомогою коефіцієнтів зменшення основного допустимого напруження
- •4.1.6 Перевірний розрахунок стиснутих стрижнів
- •4.1.7 Проектувальний розрахунок
- •4.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •5. Розрахунки при ударних навантаженнях (impact load)
- •5.1 Короткі теоретичні відомості
- •5.1.1 Розрахунок при осьовій дії ударного навантаження
- •5.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •6. Розрахунки конструкцій на витривалість
- •6.1 Короткі теоретичні відомості
- •6.1.1 Явище утоми матеріалів. Характеристики циклів
- •6.1.2 Визначення границі витривалості. Діаграма утоми
- •6.1.3 Вплив конструктивно-технологічних факторів на границю витривалості
- •6.1.4 Розрахунок на міцність при повторно-змінних навантаженнях
- •6.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •6.3 Приклад розв’язання задачі 14
- •Додаток а
- •Сортамент прокатної сталі
- •Геометричні характеристики деяких перерізів
- •Додаток д
- •Додаток е Довідникові дані до розрахунку стиснутих стержнів
- •Додаток ж Довідкові дані до визначення переміщень графічними методами
- •Додаток к Дані до розрахунку валів
- •Додаток л Співвідношення між деякими фізичними величинами в різних системах вимірювань
- •Додаток м
1.1.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
Задача 7*. Розрахунок стержня на позацентровий стиск
Чавунний короткий стержень, поперечний переріз якого зображений на рисунку 1.5., стискається поздовжньою силою Р, прикладеною в точціP.
Необхідно:
знайти допустиму стискаючу силу Р при даних розмірах перерізу і допустимих напруженнях для чавуна на стиск та на розтяг;
побудувати епюру нормальних напружень в поперечному перерізі при допустимому навантаженні;
побудувати ядро перерізу.
Таблиця 1.1
-
Варіант
а, м
Матеріал (чавун)
0
0,5
СЧ 12
1
0,4
СЧ 15
2
0,3
СЧ 18
3
0,5
СЧ 21
4
0,4
СЧ 24
5
0,3
СЧ 28
6
0,5
СЧ 32
7
0,4
СЧ 35
8
0,3
СЧ 38
9
0,5
СЧ 12
*Нумерація задач починається в посібнику [1]
Рис. 1.5. Схеми до виконання задачі 7
Приклад виконання задачі 7
Коротка чавунна колона (чавун СЧ 12) заданого поперечного перерізу (рис.1.6) стискається силою Р, що прикладена в точці Р. Виконати розрахунок колони згідно з приведеним в задачі 7 порядком виконання.
Рис. 1.6. Схема до прикладу задачі 7
Дано:
чавун СЧ 12,
a = d = 0,3 м.
Знайти:
Рmax, , ядро перерізу -?
Розв’язування
Обчислюємо геометричні характеристики заданого перерізу
Координати центра ваги перерізу
Оскільки фігура має вісь симетрії то центр ваги буде лежати на цій осі ().
Представимо дану складну фігуру у вигляді комбінації трьох простих : півкола (1) квадрата (2) та прямокутника з від’ємною площею (3) (рис. 1.7). Індекси вказують належність позначення до відповідної фігури.
Площі цих фігур
;
Загальна площа фігури
(м2).
Проведемо допоміжну вісь z. Відстані від координат центрів ваги цих площ до вісі z
;
;
.
Шукаємо координату фігури до допоміжної вісі z.
== 0,218 (м).
Проводимо вісь zс яка разом з віссю yс утворює систему головних центральних осей
Рис. 1.7. Визначення центра ваги перерізу
1.2 Визначаємо головні моменти інерції перерізу
Моменти інерції окремих фігур в їхніх центральних осях
Jz1 =
Jy1 =
Jy2 = Jz2 === (м4);
Jz3 = =
Jy3 = =
Знаходимо координати центрів ваги С1(a1;b1), С2(a2;b2) та С3(a3;b3) в системі центральних осей zс– yс.
a1 = a2 = a3 = 0 (м),
b1 = y1 – yc = 0,364 – 0,218 = 0,146 (м),
b2 = y2 – yc = 0,15 – 0,218 = -0,068 (м),
b3 = y3 – yc = 0,025 – 0,218 = -0,193 (м).
Центральні осьові моменти інерції перерізу
Jzс = Jz1 + b12 А1+ Jz2 + b22 А2 – Jz3 – b32 А3 = +0,14620,0353+ ++ (-0,068)20,09 – – (-0,193)2*0,005 = (м4);
Jус = Jу1 + a12 А1+ Jу2 + a22 А2 – Jy3 – a32 А3 =
= Jу1 + Jу2 – Jy3 =+ –=(м4);
1.3 Визначаємо головні радіуси інерції перерізу
(м2);
(м2).
Будуємо нейтральну лінію та визначаємо небезпечні точки перерізу
Будуємо нейтральну лінію через відрізки, які вона відсікає на головних осях
(м);
(м);
де (м), (м) – координати точки прикладення сили Р в системі головних центральних осей zс – yс.
Відкладаємо в масштабі отримані відрізки тана осях та проводимо нейтральну лінію (рис. 1.8).
Небезпечні точки перерізу є найвіддаленішими від нейтральної лінії. Це точки А і В (рис. 1.8). Координати цих точок в системі zс – yс
т. А (точка максимального розтягу „+”) (м), (м);
т. В (точка максимального стиску „-”) (м), (м).
Рис. 1.8. Епюри нормальних напружень
3. Максимальне значення сили Р
3.1 Визначаємо допустимі напруження матеріалу стержня
Для чавуна СЧ 12 границі міцності при розтягу і стиску відповідно МПа,МПа (додаток Б, таблиця Б.5).
Задамося запасом міцності n = 4 (орієнтовні межі 3…5 для крихких матеріалів).
Допустимі напруження матеріалу становлять
(МПа);
(МПа).
3.2 Визначаємо максимально допустиме значення сили Р за умов міцності
;
.
Звідки
(Н);
(Н).
Приймаємо меншу за модулем силу:
Рmax= 1,07 МН.
3.3 Будуємо епюру нормальних напружень в перерізі
Оскільки ця епюра лінійна, то достатньо визначити напруження в двох точках, зокрема в точках А та В. При прийнятій силі Р = -1,07 МН (знак „-” показує, що вона стискаюча)
(МПа);
(МПа).
Будуємо епюру за отриманими значеннями, відкладаючи в масштабі відрізки (рис. 1.8) та візуально перевіряємо чи перетинає епюра нейтральну лінію в нулі.
3.4 Будуємо ядро перерізу
Проводимо характерні дотичні 1-1, 2-2 ... (нейтральні лінії) до перерізу. По координатам перетину з головними осями ,визначаємо координати точки,прикладення сили Р, при якій буде реалізована ця дотична.
Використовуємо формули
; .
Для зручності результати обрахунків приводимо в вигляді таблиці 1.2
Таблиця 1.2
лінія |
, м |
, м |
точка |
, м |
, м |
1-1 |
-0,218 |
|
Р1 |
0,065 |
0 |
2-2 |
|
-0,15 |
Р2 |
0 |
0,048 |
3-3 |
0,294 |
-0,294 |
Р3 |
-0,048 |
0,025 |
4-4 |
0,232 |
|
Р4 |
-0,061 |
0 |
5-5 |
0,294 |
0,294 |
Р5 |
-0,048 |
-0,025 |
6-6 |
|
0,15 |
Р6 |
0 |
-0,048 |
З’єднуємо послідовно точки Р1, Р2, ... Р6 та заштрихуємо отриману область (рис. 1.9). Ядро перерізу побудовано.
Рис. 1.9. Побудова ядра перерізу
Питання до захисту розрахунково-графічної роботи (задача 7)
Записати рівняння нейтральної лінії при позацентровому розтягу-стиску.
Записати умову міцності при позацентровому розтягу-стиску.
Чому при позацентровому розтягу-стиску зазвичай записують дві умови міцності?
Визначити напруження в вказаній точці, використовуючи аналітичний та графічний (з епюр) способи.
Побудувати нейтральну лінію, якщо сила Р прикладена в вказаній точці.
Що таке ядро перерізу?
Для чого потрібно будувати нейтральну лінію?
В якій системі координат визначаються координати точок, що входять в розрахункові формули умов міцності?
В яких елементах конструкцій реалізуються деформації позацентровому розтягу-стиску – навести приклади.
За яким алгоритмом виконують розрахунки стержня при позацентровому розтягу-стиску?