- •Вінницький національний технічний університет
- • В.А. Огородніков, о.В. Грушко, і.Ю. Кириця, 2010 зміст
- •Задача 7. Розрахунок стержня на позацентровий стиск 12
- •Додаток а. Оформлення розрахунково-графічної роботи 123
- •Порядок та основні вимоги до виконання роботи
- •1 Складний опір (combined stress)
- •1.1 Позацентрове розтягання (стискання) прямого бруса
- •1.1.1 Короткі теоретичні відомості
- •1.1.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •1.2 Згинання з крученням (bending combined with torsion)
- •1.2.1 Короткі теоретичні відомості
- •1.2.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •1.2.3 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •2. Енергетичні методи визначення переміщень
- •2.1. Короткі теоретичні відомості
- •2.1.1 Узагальнені сили і переміщення
- •2.1.2 Загальна формула для визначення переміщень. Метод Мора
- •2.1.3 Обчислення інтегралів Мора способом Верещагіна
- •2.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •Розв’язування
- •3. Статично невизначувані системи (statically indeterminate system)
- •3.1 Короткі теоретичні відомості
- •3.1.1 Основні поняття та визначення
- •3.1.2 Канонічні рівняння (canonical equations) методу сил
- •3.1.3 Визначення переміщень у статично невизначуваних системах
- •3.1.4 Контроль правильності розв'язання статично невизначуваної системи
- •3.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •4 Стійкість стиснутих стрижнів (buckling)
- •4.1 Короткі теоретичні відомості
- •4.1.1 Стійка та нестійка пружна рівновага
- •4.1.2 Формула Ейлера для визначення критичної сили стиснутого стрижня
- •4.1.3 Вплив умов закріплення кінців стрижня на значення критичної сили
- •4.1.4 Поняття про втрату стійкості при напруженнях, що перевищують границю пропорційності
- •4.1.5 Розрахунки на стійкість за допомогою коефіцієнтів зменшення основного допустимого напруження
- •4.1.6 Перевірний розрахунок стиснутих стрижнів
- •4.1.7 Проектувальний розрахунок
- •4.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •5. Розрахунки при ударних навантаженнях (impact load)
- •5.1 Короткі теоретичні відомості
- •5.1.1 Розрахунок при осьовій дії ударного навантаження
- •5.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •6. Розрахунки конструкцій на витривалість
- •6.1 Короткі теоретичні відомості
- •6.1.1 Явище утоми матеріалів. Характеристики циклів
- •6.1.2 Визначення границі витривалості. Діаграма утоми
- •6.1.3 Вплив конструктивно-технологічних факторів на границю витривалості
- •6.1.4 Розрахунок на міцність при повторно-змінних навантаженнях
- •6.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •6.3 Приклад розв’язання задачі 14
- •Додаток а
- •Сортамент прокатної сталі
- •Геометричні характеристики деяких перерізів
- •Додаток д
- •Додаток е Довідникові дані до розрахунку стиснутих стержнів
- •Додаток ж Довідкові дані до визначення переміщень графічними методами
- •Додаток к Дані до розрахунку валів
- •Додаток л Співвідношення між деякими фізичними величинами в різних системах вимірювань
- •Додаток м
2. Енергетичні методи визначення переміщень
2.1. Короткі теоретичні відомості
2.1.1 Узагальнені сили і переміщення
Однією з найважливіших задач опору матеріалів є оцінка жорсткості конструкції, тобто ступеня її викривлення під дією навантаження, зміщення зв'язків, зміни температури. Для розв'язання цієї задачі треба визначити переміщення (лінійні та кутові) довільно навантаженої пружної системи (балки, рами, криволінійного стрижня, ферми тощо). Така сама задача постає при розрахунку конструкцій на динамічні навантаження і при виявленні статичної невизначуваності системи. В останньому випадку, як уже зазначалося, складають рівняння спільності деформацій, які містять у собі переміщення певних перерізів.
Розглядатимемо загальний метод визначення переміщень у стрижневих системах, який ґрунтується на двох фундаментальних принципах механіки: початку можливих переміщень і законі зберігання енергії.
Як відомо з теоретичної механіки, робота постійної сили Р на переміщенні Δ за її напрямом дорівнює добутку значення сили на зазначене переміщення:
.
У задачах опору матеріалів і будівельної механіки зовнішні навантаження відзначаються великою різноманітністю і, як правило, становлять групи сил. Вираз для роботи групи постійних сил також можна подати у вигляді добутку двох величин:
, (2.1)
у якому множник Р залежить тільки від сил групи і називається узагальненою силою (generalized force), а ΔР залежить від переміщень і називається узагальненим переміщенням (generalized displacement).
Отже, під узагальненою силою будемо розуміти будь-яке навантаження (зосереджені сили, зосереджені моменти, розподілене навантаження), а під узагальненим переміщенням – той вид переміщення, на якому узагальнена сила здійснює роботу.
Розглянемо деякі приклади узагальнених сил і переміщень.
1. На рис. 2.1 зображено узагальнену силу, яка складається з двох однакових за модулем протилежних сил Р, прикладених у точках А та В і напрямлених по одній прямій. Припустимо, що точки прикладення сил перемістились у напрямі ВА на відрізки Δ1 і Δ2. Очевидно, робота системи постійних сил на цих переміщеннях
, (2.2)
де– змінавідстані l між точками прикладення сил.
Отже, в цьому прикладі Р – узагальнена сила, а зміна Δl довжини відрізка АВ – узагальнене переміщення.
2. Нехай група сил складається з пари сил, момент якої М = Ра (рис. 2.2). Припустимо, що елемент АВ повернувся на кут dθ. Шляхи, пройдені силами пари в напрямі їхньої дії,
; .
Сумарна робота обох сил
. (2.3)
Отже, якщо узагальненою силою є момент М пари, то узагальненим переміщенням буде кут повороту dθ у площині дії пари.
Легко також довести, що при дії на елементиАВ і СD (рис. 2.3) двох однакових за модулем і протилежно напрямлених пар з моментом М узагальненою силою є момент пари М, а узагальненим переміщенням – зміна кута φ між елементами АВ і СD. Інакше
.
Умовимося надалі узагальнені переміщення (як лінійні, так і кутові) якого-небудь перерізу стрижня позначати літерою Δ або δ з двома індексами. Перший індекс відображує точку і напрям переміщення, другий – указує причину цього переміщення. Наприклад, ΔРР означає переміщення точки прикладення сили Р у напрямі її дії, спричинене цією самою силою (рис. 2.4, а). На рис. 2.4, б зображено консоль, навантажену на вільному кінці зосередженим моментом. Очевидно, кут повороту перерізу, де прикладений момент, слід позначити ΔММ. Тут перший індекс означає переміщення в напрямі моменту М.
Для позначення повного переміщення точки, спричиненого кількома зусиллями, при Δ зберігається тільки перший індекс. Так, повний прогин і кут повороту перерізу В балки, зображеної на рис. 2.5, слід позначити відповідно через ΔР і ΔМ, прогин перерізу С – через ΔQ.
Розглядаючи досить жорсткі лінійно деформівні конструкції (тобто системи, деформації яких відповідають закону Гука), можна на підставі принципу незалежності дії сил визначати повні переміщення точок як суму переміщень, спричинених окремими навантаженнями.
Для зображеної на рис. 2.5 балки прогин і кут повороту перерізу В можна записати у вигляді
;
(2.4)
.
де ΔРР – переміщення точки В у напрямі сили Р від сили Р; ΔРQ – те саме від сили Q; ΔРМ – те саме від моменту М; ΔМР – переміщення перерізу В у напрямі пари М (кут повороту) від сили Р; ΔМQ – те саме від сили; ΔMМ – те саме від пари М.
Переміщення, спричинене одиничною силою () або одиничною парою (), будемо позначати літероюδ і називати питомим. При цьому умовимося вважати одиничні сили чи пари, які спричинюють переміщення δ, безрозмірними.
Якщо одинична сила спричинила переміщенняδР, то, згідно з принципом незалежності дії сил, повне переміщення, спричинене силою Р,
. (2.5)
З виразу (2.5) легко визначити одиницю питомого переміщення:
. (2.6)
Зазначимо, що навантаження, яке діє на конструкцію, як правило, позначають літерами Р, М, Х, … з числовими індексами (наприклад, Х1, Х2, …). У цьому разі літерні індекси при Δ або δ заміняють відповідними числовими, тобто замість пишуть Δ1, (Δ 2, δ12, …).
На рис. 2.6 зображено позначення переміщень вільного кінця рами від дії різних сил (Р, Х1, Х2, Х3). Повні переміщення перерізу С у горизонтальному і вертикальному напрямах (тобто в напрямах дії сил Х1 і Х2), а також кут повороту (переміщення в напрямі дії Х3) відповідно можна подати у вигляді
;
; (2.7)
.
Тут
; ;;.
Для оцінки одиниці переміщення множимо останнє рівняння наХт.
Тоді
виражатиметься в одиницях роботи (Дж). Звідси переміщення
.