- •Вінницький національний технічний університет
- • В.А. Огородніков, о.В. Грушко, і.Ю. Кириця, 2010 зміст
- •Задача 7. Розрахунок стержня на позацентровий стиск 12
- •Додаток а. Оформлення розрахунково-графічної роботи 123
- •Порядок та основні вимоги до виконання роботи
- •1 Складний опір (combined stress)
- •1.1 Позацентрове розтягання (стискання) прямого бруса
- •1.1.1 Короткі теоретичні відомості
- •1.1.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •1.2 Згинання з крученням (bending combined with torsion)
- •1.2.1 Короткі теоретичні відомості
- •1.2.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •1.2.3 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •2. Енергетичні методи визначення переміщень
- •2.1. Короткі теоретичні відомості
- •2.1.1 Узагальнені сили і переміщення
- •2.1.2 Загальна формула для визначення переміщень. Метод Мора
- •2.1.3 Обчислення інтегралів Мора способом Верещагіна
- •2.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •Розв’язування
- •3. Статично невизначувані системи (statically indeterminate system)
- •3.1 Короткі теоретичні відомості
- •3.1.1 Основні поняття та визначення
- •3.1.2 Канонічні рівняння (canonical equations) методу сил
- •3.1.3 Визначення переміщень у статично невизначуваних системах
- •3.1.4 Контроль правильності розв'язання статично невизначуваної системи
- •3.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •4 Стійкість стиснутих стрижнів (buckling)
- •4.1 Короткі теоретичні відомості
- •4.1.1 Стійка та нестійка пружна рівновага
- •4.1.2 Формула Ейлера для визначення критичної сили стиснутого стрижня
- •4.1.3 Вплив умов закріплення кінців стрижня на значення критичної сили
- •4.1.4 Поняття про втрату стійкості при напруженнях, що перевищують границю пропорційності
- •4.1.5 Розрахунки на стійкість за допомогою коефіцієнтів зменшення основного допустимого напруження
- •4.1.6 Перевірний розрахунок стиснутих стрижнів
- •4.1.7 Проектувальний розрахунок
- •4.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •5. Розрахунки при ударних навантаженнях (impact load)
- •5.1 Короткі теоретичні відомості
- •5.1.1 Розрахунок при осьовій дії ударного навантаження
- •5.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •6. Розрахунки конструкцій на витривалість
- •6.1 Короткі теоретичні відомості
- •6.1.1 Явище утоми матеріалів. Характеристики циклів
- •6.1.2 Визначення границі витривалості. Діаграма утоми
- •6.1.3 Вплив конструктивно-технологічних факторів на границю витривалості
- •6.1.4 Розрахунок на міцність при повторно-змінних навантаженнях
- •6.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •6.3 Приклад розв’язання задачі 14
- •Додаток а
- •Сортамент прокатної сталі
- •Геометричні характеристики деяких перерізів
- •Додаток д
- •Додаток е Довідникові дані до розрахунку стиснутих стержнів
- •Додаток ж Довідкові дані до визначення переміщень графічними методами
- •Додаток к Дані до розрахунку валів
- •Додаток л Співвідношення між деякими фізичними величинами в різних системах вимірювань
- •Додаток м
4.1.2 Формула Ейлера для визначення критичної сили стиснутого стрижня
Припустимо, що під дією сили Р, яка дещо перевищує критичну силу Ркр, стрижень з шарнірно закріпленими кінцями (рис. 4.2, а) трохи зігнувся (рис. 4.2, б).
Найменше значення поздовжньої стискальної критичної сили (Euler load) Ркр, при якому стає можливим поздовжнє згинання
. (4.3)
Рівняння (4.3) є формулою, що вперше була виведена Ейлером.
4.1.3 Вплив умов закріплення кінців стрижня на значення критичної сили
Різні випадки обпирання та навантажування стрижня зводяться до основного випадку введенням у формулу дляРкр так званої зведеної довжини . Це поняття вперше було використано Ф. С. Ясинським.
, (4.4)
де – зведена довжина стрижня;l – фактична довжина стрижня; μ – коефіцієнт зведення довжини.
З формули Ейлера (4.4) випливає, що критичне навантаження залежить від найменшої жорсткості EJmin, довжини стрижня l та коефіцієнта μ. На рис. 4.3 наведено значення μ для деяких стрижнів, що найбільш часто зустрічаються на практиці.
4.1.4 Поняття про втрату стійкості при напруженнях, що перевищують границю пропорційності
Виведення формули Ейлера ґрунтується на застосуванні диференціального рівняння пружної лінії. Тому скористатися цією формулою можна лише тоді, коли справедливий закон Гука, тобто доки критичне напруження (напруження стискання, що відповідає критичній силі) не перевищує границі пропорційності:
. (4.5)
Виведемо формулу для критичного напруження σкр. Відповідно до виразів (4.5) та (4.4)
. (4.6)
Тут – квадрат найменшого з головних радіусів інерції стрижня;F = Fбр – площа брутто поперечного перерізу стрижня. Ввівши безрозмірну величину
, (4.7)
що називається гнучкістю стрижня (slenderness ration of a bar), остаточно знайдемо
, (4.8)
тобто критичне напруження стрижня залежить тільки від пружних властивостей матеріалу (модуля пружності Е) та гнучкості стрижня λ.
Функціональна залежність (4.8) становить видозміну формули Ейлера. У системі координатσкр ≈ λ цю залежність можна подати у вигляді гіперболічної кривої, що зветься гіперболою Ейлера. Як приклад наведемо такий графік (рис. 4.4) для стрижня зі сталі марки Ст. 3, для якої модуль пружності Е = 2,1 ∙ 105 МПа, границя текучості σт = 240 МПа, а границя пропорційності σпц = 200 МПа. Графік показує, що в міру зростання гнучкості стрижня критичне напруження прямує до нуля, і навпаки, в міру наближення гнучкості стрижня до нуля критичне напруження прямує до нескінченності.
Однак з умови (4.5) застосованості формули Ейлера відповідно до формули (4.8) маємо
,
і, отже,
. (4.9)
Це означає, що формула Ейлера стає непридатною при гнучкості стрижня, меншій за граничне значення λгр, яке залежить тільки від властивостей матеріалу, тобто в розглядуваному прикладі при
λ < .
Те саме можна дістати і графічно. Якщо на осі ординат (σкр) відкласти значення границі пропорційності (σпц = 200 МПа) і провести зі здобутої точки К пряму, паралельну осі абсцис, то вона в перетині з гіперболою Ейлера дасть точку М, абсциса якої і є λгр. Ліворуч від точки М гіперболу Ейлера зображено штриховою лінією, оскільки вона тут дає значення напружень вищі за границю пропорційності, тобто такі, що не відповідають умовам її застосування.
Проте явище поздовжнього згинання продовжує існувати й за границею пружності. Дослідами встановлено, що дійсні критичні напруження для стрижнів середньої та малої гнучкості λ < λгр менші, ніж визначені за формулою Ейлера. Отже, в цьому разі формула Ейлера дає завищені значення критичної сили, тобто завжди переоцінює дійсну стійкість стрижня. Тому використання формули Ейлера для стрижнів, що втрачають стійкість за границею пружності, не тільки принципово неправильне, а й дуже небезпечне за своїми наслідками.
Теоретичне розв'язання задачі про стійкість за границею пропорційності складне, тому зазвичай користуються емпіричними формулами, здобутими в результаті обробки багатьох дослідних даних.
Ф. С. Ясинський зібрав та обробив великий дослідний матеріал щодо поздовжнього згинання стрижнів, у результаті чого склав таблицю критичних напружень залежно від гнучкості для низки матеріалів та запропонував просту емпіричну формулу для обчислення критичних напружень за границею пропорційності:
. (4.10)
Значення коефіцієнтів а та b для деяких матеріалів наведено в табл. Е.2 (додаток Е). Для чавуну користуються параболічною залежністю
, (4.11)
де с = 0,53.
За цими даними для кожного матеріалу при 0 < λ < λгр можна побудувати графік залежності критичних напружень від гнучкості стрижня.
За деяким значенням гнучкості (позначимо його λ0) напруження σкр, обчислене за формулою (4.10) або (4.11), стає таким, що дорівнює граничному напруженню при стисканні, а саме:
для пластичних матеріалів
для крихких матеріалів
. (4.12)
Стрижні, в яких λ < λ0, називають стрижнями малої гнучкості. Їх розраховують тільки на міцність.
У розглядуваному прикладі (рис. 4.4) частина графіка критичних напружень за границею пропорційності (при 50 < λ < 100) має вигляд злегка нахиленої прямої SM, а частина (при 0 < λ < 50) – горизонтальної лінії NS. Отже, графік σкр = f(λ) для сталі Ст3 складається з трьох частин: гіперболи Ейлера при λ > 100, похилої прямої при 50 < λ < 100 та майже горизонтальної прямої при λ < 50. Похила пряма SM відповідає напруженням між границею пропорційності і границею текучості. Горизонтальна пряма SN відповідає напруженню, що дорівнює границі текучості.