- •Вінницький національний технічний університет
- • В.А. Огородніков, о.В. Грушко, і.Ю. Кириця, 2010 зміст
- •Задача 7. Розрахунок стержня на позацентровий стиск 12
- •Додаток а. Оформлення розрахунково-графічної роботи 123
- •Порядок та основні вимоги до виконання роботи
- •1 Складний опір (combined stress)
- •1.1 Позацентрове розтягання (стискання) прямого бруса
- •1.1.1 Короткі теоретичні відомості
- •1.1.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •1.2 Згинання з крученням (bending combined with torsion)
- •1.2.1 Короткі теоретичні відомості
- •1.2.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •1.2.3 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •2. Енергетичні методи визначення переміщень
- •2.1. Короткі теоретичні відомості
- •2.1.1 Узагальнені сили і переміщення
- •2.1.2 Загальна формула для визначення переміщень. Метод Мора
- •2.1.3 Обчислення інтегралів Мора способом Верещагіна
- •2.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •Розв’язування
- •3. Статично невизначувані системи (statically indeterminate system)
- •3.1 Короткі теоретичні відомості
- •3.1.1 Основні поняття та визначення
- •3.1.2 Канонічні рівняння (canonical equations) методу сил
- •3.1.3 Визначення переміщень у статично невизначуваних системах
- •3.1.4 Контроль правильності розв'язання статично невизначуваної системи
- •3.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •4 Стійкість стиснутих стрижнів (buckling)
- •4.1 Короткі теоретичні відомості
- •4.1.1 Стійка та нестійка пружна рівновага
- •4.1.2 Формула Ейлера для визначення критичної сили стиснутого стрижня
- •4.1.3 Вплив умов закріплення кінців стрижня на значення критичної сили
- •4.1.4 Поняття про втрату стійкості при напруженнях, що перевищують границю пропорційності
- •4.1.5 Розрахунки на стійкість за допомогою коефіцієнтів зменшення основного допустимого напруження
- •4.1.6 Перевірний розрахунок стиснутих стрижнів
- •4.1.7 Проектувальний розрахунок
- •4.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •5. Розрахунки при ударних навантаженнях (impact load)
- •5.1 Короткі теоретичні відомості
- •5.1.1 Розрахунок при осьовій дії ударного навантаження
- •5.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •6. Розрахунки конструкцій на витривалість
- •6.1 Короткі теоретичні відомості
- •6.1.1 Явище утоми матеріалів. Характеристики циклів
- •6.1.2 Визначення границі витривалості. Діаграма утоми
- •6.1.3 Вплив конструктивно-технологічних факторів на границю витривалості
- •6.1.4 Розрахунок на міцність при повторно-змінних навантаженнях
- •6.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •6.3 Приклад розв’язання задачі 14
- •Додаток а
- •Сортамент прокатної сталі
- •Геометричні характеристики деяких перерізів
- •Додаток д
- •Додаток е Довідникові дані до розрахунку стиснутих стержнів
- •Додаток ж Довідкові дані до визначення переміщень графічними методами
- •Додаток к Дані до розрахунку валів
- •Додаток л Співвідношення між деякими фізичними величинами в різних системах вимірювань
- •Додаток м
2.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
Задача 10. Розрахунок на міцність та визначення переміщення
бруса малої кривини при згині
Для заданого кривого бруса (рис. 2.15) підібрати двотавровий переріз виходячи з умови міцності по нормальним напругам, якщо МПа. Визначити кут повороту і горизонтальне переміщення перерізу в т. А. Радіус кривини вісі бруса 3 м, матеріал стержня – Ст. 3.
План рішення
Побудувати епюри внутрішніх зусиль. Знайти небезпечний переріз.
Визначити розміри двотаврового перерізу із умови міцності по нормальним напругам, як для бруса малої кривизни, розташувавши переріз найвигіднішим чином.
Користуючись методом Мора, визначити горизонтальне переміщення і кут повороту в точці А без врахування осьової і поперечної сил.
Примітка. При виконанні завдання бажано виконати перевірку інтегрування, користуватись сучасними математичними прикладними пакетами програм (Mathcad, Mathlab, Mathematical тощо)
Таблиця 2.1
№ |
Р1, кН |
Р2, кН |
М, кНм |
α, |
0 |
11 |
2 |
3 |
30 |
1 |
2 |
1 |
2 |
45 |
2 |
3 |
2 |
1 |
60 |
3 |
4 |
1 |
2 |
30 |
4 |
5 |
2 |
1 |
45 |
5 |
3 |
3 |
3 |
60 |
6 |
2 |
4 |
2 |
30 |
7 |
3 |
2 |
2 |
45 |
8 |
2 |
3 |
3 |
60 |
9 |
1 |
4 |
3 |
30 |
Приклад виконання задачі 10
Для заданого кривого бруса (рис. 2.16) підібрати двотавровий переріз, визначити кутове, горизонтальне та вертикальне переміщення перерізу в точці прикладення сили P2 . Матеріал стержня – сталь Ст. 3, допустимі нормальні напруження МПа.
Дано:
P1 = 5 кН; P2 = 10 кН;
М = 4 кНм; R = 2 м,
1 = /2, 2 = 3/2, МПа
Знайти:
N(), Q(), М(); № переріза; ,,– ?
Розв’язування
Будуємо епюри внутрішніх силових факторів*
Розділяємо стержень на дві ділянки і складаємо рівняння поздовжніх, поперечних сил та згинальних моментів для кожної з них (рис. 2.17).
* Методика побудови епюр для кривого стержня детально викладена, наприклад, в [1]
Рис. 2.15. Схеми до виконання задачі 10
Ділянка АВ
0 1 /2.
N(1) = –P1cos(1) = –5cos(1);
Q(1 ) = –P1sin(1) = –5sin(1);
М(1 ) = –P1R[1 – cos(1)] = –10[1 – cos(1)].
Ділянка ВС
0 2 .
N(2) = –P1cos(2 +1) – P2sin(2) = –5cos(2 + /2) – 10sin(2) = -5sin(2);
Q(2 ) = –P1sin(2 +1) + P2cos(2) = –5sin(2+/2) +10cos(2) = 5cos(2);
М(2 ) = –P1R[1 – cos(2 + 1)] + P2Rsin(2) + М =
= –10[1 – cos(2)] + 20sin(2 – /2) + 4 = -6 + 10sin(2).
З інтервалом в /6 (300) знаходимо значення внутрішніх силових факторів в перерізах (таблиця 2.2).
Таблиця 2.2
|
Ділянка АВ 0 1 /2 |
Ділянка ВС 0 2 | |||||||||
00 |
300 |
600 |
900 |
00 |
300 |
600 |
900 |
1200 |
1500 |
1800 | |
N() , кН |
-5 |
-4,33 |
-2,5 |
0 |
0 |
-2,5 |
-4,33 |
-5 |
-4,33 |
-2,5 |
0 |
Q(), кН |
0 |
-2,5 |
-4,33 |
-5 |
5 |
4,33 |
2,5 |
0 |
-2,5 |
-4,33 |
-5 |
М(), кНм |
0 |
-1,34 |
-5 |
-10 |
-6 |
-1 |
2,66 |
4 |
2,66 |
-1 |
-6 |
За отриманими значеннями будуємо на осі криволінійного стержня епюри поздовжніх N(), поперечних сил Q() та згинальних моментів М() (рис. 2.17).
Ординати згинальних моментів відкладені в сторону стиснутих волокон без вказівки знаку. При прийнятому правилі знаків ординати зі знаком “+” до центра кривизни від осі стержня, “–” від центра кривизни від осі стержня. При побудові на розтягнутих волокнах – навпаки.
в) г) б) Рис.
2.17.
Епюри внутрішніх зусиль
Підбираємо переріз за умови міцності
Поперечними та поздовжніми силами нехтуємо. Також нехтуємо зміщенням нейтральної лінії від вісі стержня за рахунок малості його кривини.
Отже умова міцності
.
Необхідний момент опору
(м3) = 297,8 см3.
За сортаментом підбираємо двотавр №24а (додаток В), для якого см3, Іz = 3800 см4.
3. Визначаємо переміщення перерізу в т. А (кутове, горизонтальне, вертикальне та повне)
Згідно формули Мора для плоского стержня малої кривини
Нехтуємо переміщенням від дії поперечних та поздовжніх сил та переходимо до інтегрування по центральному куту 2 ( 0 2 )
.
3.1 Кутове переміщення
Для визначення кутового переміщення прикладемо в т. В одиничний згинальний момент (рис. 2.18).
(2) = -6 + 10sin(2) .
Згинаючий момент в перерізі від цієї сили
(2) = = 1.
(рад) = 0,0170 .
Значення інтегралів в виразі знаходили, використовуючи допоміжну таблицю додатка Д .
Знак “+” означає, що переріз повертається за напрямком одиничного момента .
3.2 Вертикальне переміщення
Для визначення вертикального переміщення прикладемо в т. В вертикальну одиничну силу (рис. 2.19).
Рис. 2.18. Визначення кутового Рис. 2.19. Визначення вертикального
переміщення переміщення
Згинаючий момент в перерізі від цієї сили
(2) = -R (1 – cos (2)) = -12 (1 – cos (2)) = -2 + 2 cos (2).
= -0,000577 (м) = -0,577 мм.
Знак “–” означає, що переріз переміщується проти напрямку одиничної сили , тобто, вниз.
3.3 Горизонтальне переміщення
Для визначення горизонтального переміщення прикладемо в т. В горизонтальну одиничну силу.
Рис. 2.20. Визначення горизонтального переміщення
Згинаючий момент в перерізі від цієї сили
(2) = -Rsin(2) = -12 sin(2) = -2 sin(2).
-0,00187 (м) = -1,87 мм.
Знак “–” означає, що переріз переміщується проти напрямку одиничної сили , тобто, ліворуч.
Повне переміщення знаходимо за теоремою Піфагора
(мм).
Відповідь: двотавр №14, =0,0170, =0,577 мм,= 1,87 мм.
Питання до захисту розрахунково-графічної роботи (задача 10)
Які епюри будуються для розрахунку на міцність кривих плоских стержнів? Пояснити необхідність кожної епюри.
Записати інтеграл Мора при визначенні переміщень переріза кривого стержня та пояснити його.
За яким алгоритмом визначаються переміщення в стержневих системах довільної конфігурації?
Що називається вантажним станом?
Що називається одиничним станом?
Які відмінності розрахунку лінійного і кутового переміщення кривого стержня?
Що означає знак мінус перед числом визначеного переміщення?
Як визначити повне переміщення перерізу та його напрямок?
Визначити переміщення (кутове або лінійне) вказаного перерізу.
Чому при розрахунку переміщень стержневих конструкцій використовують лише залежності згинаючого моменту?