1.10. Распространение понятий теории погрешностей числовых величин на объекты метрических пространств

Метрические, нормированные и евклидовы пространства

Пусть имеется непустое множество Х с элементами x, y, z,…. Метрикой на множестве Х называется функция , определенная на множестве , для которой справедливы утверждения (аксиомы метрики):

1) для любых x и y выполняется причем;

2) для любых x и y выполняется ;

3) для любых x и y выполняется ;

Метрика – это обобщение понятия расстояния. Она представляет собой меру близости между элементами множества Х.

Множество Х с введенной на нем метрикой называетсяметрическим пространством и обозначается .

Частным случаем метрического пространства является линейное нормированное пространство. Пусть имеется некоторое линейное пространство L. Нормой элементов пространства L называется функция , определенная на пространстве L, для которой справедливы утверждения (аксиомы нормы):

1) для любого x из пространства L выполняется: причем;

2) для любого числа и для любогоx из L выполняется ;

3) для любых x и y из пространства L выполняется .

Норма – обобщение понятия длины вектора.

Линейное пространство L с введенной в нем нормой элементов называется линейным нормированным пространством.

Всякое линейное нормированное пространство является метрическим пространством, метрику в котором можно ввести по формуле

. (1.10.1)

Нетрудно показать, что эта функция действительно удовлетворяет всем аксиомам метрики.

Частным случаем линейного нормированного пространства является евклидово (предгильбертово) пространство. Пусть имеется некоторое линейное пространство L. Скалярным произведением элементов линейного пространства L называется функция , определенная на пространстве , для которой справедливы следующие утверждения (аксиомы скалярного произведения):

1) для любого x из L выполняется причем;

2) для любых x и y из L выполняется ;

3) для любых x, y и z из L выполняется :

4) для любого числа и для любыхx и y из L выполняется .

Скалярное произведение элементов линейного пространства обобщает понятие скалярного произведения векторов.

Линейное пространство L с введенным в нем скалярным произведением называется линейным евклидовым (предгильбертовым) пространством. Всякое евклидово пространство является линейным нормированным и, следовательно, метрическим пространством, норму в котором можно ввести по формуле

, (1.10.2)

а метрику по формуле

. (1.10.3)

Нетрудно показать, что эти функции действительно удовлетворяет всем аксиомам нормы и метрики.

Во всех метрических пространствах задана естественная мера близости между элементами (метрика). Поэтому в них можно ввести понятия точного, приближенного значений и погрешности как меры близости между точным и приближенным значениями.

Основные понятия теории погрешностей в метрических пространствах

Пусть задано метрическое пространство . Рассмотрим величину, значение которой представляет собой некоторый элемент множестваХ.

Это значение будем называть точным значением этой величины и будем обозначать, приписывая к имени величины снизу индекс e. Например, точное значение величины x будем обозначать .

Под приближенным значением величины (приближением для точного значения) в множестве Х понимается любой элемент из множества Х, который будем использовать вместо точного значения.

Обозначать приближенные значения величин будем, приписывая к их именам нижний индекс a. Например, приближенное значение величины x будем обозначать .

Абсолютной погрешностью приближенного значения в метрическом пространстве будем называть величину . Если метрическое пространство является еще и нормированным, то определение абсолютной погрешности примет следующий вид.

Абсолютной погрешностью приближенного значения в линейном нормированном пространстве L будем называть .

Относительной погрешностью приближенного значения в линейном нормированном пространстве L назовем .

О точном значении должна быть какая-то информация. Любая такая информация сводится к определению подмножества в множествеХ, которому должно принадлежать точное значение . Это множество назовеммножеством принадлежности для точного значения величины x.

Множество принадлежности для точного значения величины будем обозначать буквой E, приписывая к ней в качестве нижнего индекса имя величины. Так, множество принадлежности для точного значения величиныx будет обозначено . Таким образом, любая информация о точном значениисводится к отношению вида

. (1.10.4)

Оценкой (верхней границей) абсолютной погрешности приближенного значения в метрическом пространстве (в линейном нормированном пространстве L) назовем любую из верхних границ () по множеству принадлежности.

Оценкой (верхней границей) относительной погрешности приближенного значения в линейном нормированном пространстве L назовем любую из верхних границ по множеству принадлежности.

Оценки абсолютной (относительной) погрешности приближенного значения будем обозначать, или(или,). Очевидно, что абсолютная и относительная погрешностине превышают своих оценок:

, (1.10.5)

, . (1.10.6)

Между множествами оценок абсолютной и относительной погрешности (в линейном нормированном пространстве) можно установить взаимно-однозначное соответствие

. (1.10.7)

Предельной абсолютной погрешностью в метрическом пространстве называется

. (1.10.8)

Предельная абсолютная (относительная) погрешность в линейном нормированном пространстве L определяется аналогично:

. (1.10.9)

Как известно, на одних и тех же множествах можно вводить различные метрики или нормы. Поэтому значения погрешностей и их оценок для объектов метрических и линейных нормированных пространств существенно зависят от введенной метрики или нормы.