138

Глава 2. Численные методы решения нелинейных уравнений

с одним неизвестным

Глава 2. Численные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным

На практике часто встречаются нелинейные уравнения, корни которых не удается найти аналитически. В таких случаях используют приближенные численные методы решения уравнений, основанные на идее последовательных приближений. Вторая глава учебного пособия посвящена подобным итерационным методам решения нелинейных уравнений с одним неизвестным.

1. Постановка задачи. Метод последовательных приближений. Отделение корней

Рассмотрим уравнение с одним неизвестным вида

. (2.1.1)

Здесь f(x)  заданная вещественная нелинейная функция одной вещественной переменной. Предположим, что это уравнение имеет корни и обозначим искомый корень этого уравнения .

Корнем (или решением) уравнения (2.1.1) называется значение , при котором .

Корень ,уравнения (2.1.1) называется простым, если f'()=0. В противном случае (т. е. в случае f'()0) корень ,называется кратным.

Целое число m назовем кратностью корня , если для и .

Геометрически корень соответствует точке пересечения графика функции у = f(x) с осью Ох. Корень является простым, если график пересекает ось Ох под ненулевым углом, и кратным, если пересечение происходит под нулевым углом. Функция f(x), график который изображен на рис.2.1, имеет четыре корня. Корни и простые корни, а корни и кратные, причем корень четной кратности, а  корень нечетной кратности.

Задача отыскания простых корней является более простой (и чаще встречающейся), чем задача отыскания кратных корней. В действительности большинство методов решения уравнения (2.1.1) ориентировано именно на вычисление простых корней.

Будем искать приближенное значение этого корня , абсолютная погрешность которого не превышает заданного положительного числа

. (2.1.2)

Приближенное значение не единственно, так как неравенству (2.1.2) удовлетворяют все точки отрезкаи все они годятся в качестве искомого приближенного решения задачи. Мы будем искать любое из этих приближенных решений.

В основе рассматриваемых в этой главе методов решения поставленной задачи лежит принцип последовательных приближений. Пусть известна числовая последовательность , сходящаяся к(). Согласно определению предела, для заданногонайдется номерN такой, что для всех номеров n, больших или равных N, будет выполнено неравенство . Иными словами,для всех номеровn, больших или равных N. Таким образом все приявляются приближенными решениями задачи с погрешностью, не превышающей. Поэтому члены последовательностиназываютсяприближениями (или итерациями). Все методы, в которых используется идея последовательных приближений, называются итерационными. Таким образом, решение исходной задачи сводится к построению последовательности приближений и отысканию номера N. Различные итерационные методы решения уравнения (2.1.1) отличаются друг от друга только способом построения последовательности приближений и выбора значения N.

Уравнение (2.1.1) может иметь множество корней, и прежде чем мы применим метод последовательных приближений, необходимо определить, какой из корней мы будем искать. Для этой цели используем механизм отделения искомого корня от остальных корней. Он заключается в том, что указывается отрезок , который содержит искомый корень уравнения и не содержит других корней этого уравнения. Для отделения искомого корня используем различные способы.

Можно построить эскиз графика функции и по графику определить примерное положение корней уравнения (2.1.1). Если графикпостроить сложно, то можно заменить уравнение (2.1.1) равносильным уравнением вида, а затем на одном чертеже построить эскизы графиков функцийи.

Можно получить достаточно подробную таблицу значений функции (например, с помощью табличного процессора) и по ней определить примерное расположение корней уравнения (2.1.1).

Далее подбирается отрезок , на котором скорее всего должен быть локализован искомый корень. Но все описанные способы отделения искомого корня дают лишь примерное предположительное его расположение. Для того чтобы с уверенностью можно было утверждать, что на подобранном отрезке действительно расположен единственный корень уравнения (2.1.1), используют две теоремы, доказываемые в курсе высшей математики.

Теорема 1 (о прохождении непрерывной функции через ноль). Если функция непрерывна на отрезкеи, то на интерваленайдется хотя бы одна точкаx, в которой эта функция обращается в 0.

Эта теорема позволяет установить существование хотя бы одного корня уравнения (2.1.1) на отрезке .