8. Уточнение метода Ньютона для случая кратного корня

Для вычисления корня уравнения кратностиможно использовать и стандартный метод Ньютона. Однако в этом случае скорость его сходимости является только линейной. Для того чтобы сохранить квадратичную скорость сходимости, метод Ньютона необходимо модифицировать следующим образом:

, (2.8)

Покажем, что при таком выборе итерационной функции получим,и сходимость сноваокажется квадратичной. Разложим функцию в окрестности корняв ряд Тейлора, получим

в правой части которого все слагаемые, кроме последнего, равны нулю. Следовательно, получаем

,

,

.

=

Условием окончания итерационного процесса, так как скорость сходимости квадратичная, можно считать

или, что иногда бывает более удобным,

,

где  заданная погрешность. За решение уравнения принимаем последние вычисленное значение.

Контрольные вопросы и задания

1. Как ставится задача приближенного решения уравнения ? Как конкретизируется метод последовательных приближений для решения этой задачи? Что означает отделение корня уравнения и как оно производится?

2. Дайте определение простого и кратного корня уравнения . Какое число называется кратным корня уравнения?

3. Как влияет погрешность вычисления функции на погрешность вычисления корня? Что называют интервалом неопределенности корня уравнения? Приведите оценку радиуса интервала неопределенности для простого и кратного корня уравнения. Как использовать правило Гарвика для предотвращения попадания итерационной последовательности в интервал неопределенности?

4. Как строится последовательность приближений в методе половинного деления? В чем его геометрический смысл? Сформулируйте и обоснуйте условия применимости и условия окончания итераций метода половинного деления. Запишите алгоритм половинного деления.

5. Как преобразуется решаемое уравнение к виду, удобному для применения метода простой итерации? Как строится последовательность приближений в методе простой итерации? Сформулируйте и обоснуйте условия применимости и условия окончания итераций для метода простой итерации. В чем состоит геометрический смысл метода простой итерации?

6. Как строится последовательность приближений в методе касательных? Сформулируйте и обоснуйте условия применимости и условия окончания итераций для метода касательных. В чем состоит геометрический смысл метода касательных?

7. Как строится последовательность приближений в методе хорд? Сформулируйте условия применимости и условия окончания итераций для метода хорд. В чем состоит геометрический смысл метода хорд?

8. С чем связано появление комбинированного метода хорд и касательных? Как строятся последовательности приближений в комбинированных методах хорд и касательных? Сформулируйте условия применимости и условия окончания итераций для комбинированного метода. В чем состоит геометрический смысл комбинированного метода?

9. Как строятся последовательности приближений в методе Стеффенсена? Сформулируйте условия применимости и условия окончания итерации для метода Стеффенсена.

10. Как строится последовательность приближений в уточненном методе Ньютона для случая кратного корня?