Геометрический смысл метода простой итерации

Рис.2.4

Р

Рис.2.5

исунок 2.4 иллюстрирует геометрический смысл метода простой итерации. Для того чтобы, имея точку, построить точку, необходимо из точкивосставить перпендикуляр к осиОх до пересечения с графиком функции , провести через эту точку прямую параллельную осиОх до пересечения с прямой и опустить из этой точки перпендикуляр на осьОх. В основании последнего перпендикуляра получим точку .

П

Рис. 2.6

остроим таким путем несколько первых членов последовательности приближений в двух разных случаях. В первом случаеи условие применимости методавыполняется (рис. 2.5), а во втором случаеи указанное условие применимости не выполняется (рис. 2.6). Из рисунков видно, что в первом случае члены последовательностибыстро сближаются с точным значением корня(последовательностьсходится к), а во втором случае члены последовательностиудаляются от(в этом случае сходимостькотсутствует). Таким образом, требование, чтобына отрезке, является существенным и при его нарушении на сходимостькрассчитывать не приходится.

4. Метод касательных Построение последовательности приближений

Метод касательных применяется непосредственно для решения уравнения . В то же время метод касательных является частным случаем метода простой итерации. Заменим уравнениеравносильным уравнением вида, выбирая в. Таким образом,.

Для решения уравнения построим последовательность приближений по методу простой итерации:

, (2.4.1)

Задавая каким-нибудь способом , по рекуррентной формуле (2.4.1) приодин за другим вычисляем члены последовательности. Так строится последовательность приближений в методе касательных, который также называютметодом Ньютона. Первое название метода связано с его геометрическим смыслом.

Условия применимости и окончания итераций

Теорема 6. Пусть на отрезке существует единственный кореньуравнения, функциядважды непрерывно дифференцируема на отрезке,ине обращаются в ноль на отрезке. Еслина отрезке, товыбирается равным, а еслина отрезке, товыбирается равным(условия применимости метода).

Тогда последовательность , получаемая с помощью рекуррентной формулы (2.4.1) с выбранным значением, сходится к, т.е..

Пусть существует число . Если , то в качестве искомого приближенного значения корня с погрешностью, не превышающей , можно выбрать (условие окончания итераций).

Доказательство. Так как инепрерывны и не обращаются в 0 на отрезке, согласно теореме об устойчивости знака непрерывной функции,ибудут иметь постоянный знак на отрезке.

Таким образом, всего возможны четыре разных случая:

1) ,на.

2) ,на.

3) ,на.

4) ,на.

Докажем теорему для первого случая, в остальных случаях доказательство производится аналогично. Докажем, что для всех целых неотрицательных значений n будет выполнено неравенство

. (2.4.2)

Доказательство будем вести последовательно для , при этом будем дополнительно предполагать, что. Это предположение можно использовать, поскольку в рассматриваемом случае. Итак, пустьn – произвольный неотрицательный номер такой, что . Согласно формуле (2.4.1),

.

В рассматриваемом случае , функциявозрастает. А посколькудолжно выполняться неравенство. Таким образом,и, следовательно,. Вторая часть неравенства (2.4.2) доказана.

Докажем теперь первую часть этого неравенства. Воспользуемся формулой (2.4.1):

.

Для преобразования числителя дроби здесь использована теорема Лагранжа, а  некоторая точка, расположенная на интервале . Из полученного равенства следует, что

. (2.4.3)

Так как в рассматриваемом случае , функциявозрастает. Кроме того,. Поэтому, поскольку, должно выполняться условие. При этих условиях для правой части (2.4.3) получим неравенство

.

Из последнего неравенства и равенства (2.4.3) будем иметь . Неравенство (2.4.2) полностью доказано.

Из доказанного неравенства непосредственно следует, что последовательность является убывающей и ограниченной снизу. Тогда, согласно теореме о сходимости монотонной ограниченной последовательности, последовательностьдолжна сходиться. Так как метод касательных можно рассматривать как частный случай метода простой итерации, для него должна быть справедлива теорема 4. Согласно этой теореме, предел последовательностидолжен являться корнем решаемого уравнения. Кроме того, этот предел должен находиться на отрезке, а на отрезкеимеется единственный корень нашего уравнения . Таким образом, последовательностьдолжна сходиться к искомому корню, то есть. Условия применимости метода касательных доказаны.

Докажем условие окончания итераций. Пусть существует . Заметим, что. Здесь использована теорема Лагранжа, а некоторая точка, расположенная между точками и. Отсюда

.

Если , тоиможно выбрать в качестве искомого приближенного значения корня уравнения с погрешностью, не превышающей. Теорема полностью доказана.