184

Глава 3. Численные методы решения систем уравнений

Глава 3. Численные методы решения систем уравнений

Три четверти прикладных математических задач в конечном счете сводятся к решению систем алгебраических и трансцендентных уравнений, причем подавляющее большинство из них – линейные алгебраические системы, имеющие единственное решение.

Для решения линейных систем давно созданы хорошо известные методы Крамера и Гаусса и разработана общая теория. Казалось бы этого достаточно, но на практике при решении линейных систем возникло множество разных проблем.

Метод Крамера оказался настолько трудоемким, что им практически невозможно пользоваться. Для решения системы n-го порядка методом Крамера, например, требуется выполнить около n! простейших арифметических операций. Факториальный рост очень сильный. Так, при n=100 количество операций составит около . Никакой компьютер ни сейчас, ни в обозримом будущем не в состоянии справиться с таким объёмом вычислений. В то же время в вычислительной практике нередко возникают линейные системы, порядки которых могут достигать многих миллионов.

Метод Гаусса менее трудоемкий, количество арифметических операций, необходимых для решения линейной системы n-го порядка методом Гаусса, составляет примерно . Это позволяет использовать этот метод достаточно широко. Приn=100, например, количество операций для получения решения методом Гаусса равно примерно . Это не много для современных компьютеров. Но когда порядок системыn=, количество операций составляет. Такой объем вычислений велик даже для мощных суперкомпьютеров. Кроме того, погрешность результата, связанная с наличием погрешностей округлений при таком количестве операций, может оказаться недопустимо большой. Поэтому при решении систем высокого порядка применение метода Гаусса становится проблематичным.

На практике нередко возникают плохо обусловленные системы, для которых характерно быстрое нарастание вычислительной погрешности результата, связанное с округлениями, при увеличении порядка системы. Решение таких систем даже при небольших порядках вызывает трудности.

Ввиду большой важности и практической значимости задача решения линейной системы до сих пор привлекает внимание математиков. Создано большое количество разных методов решения этой задачи и сопутствующих ей задач (вычисление определителей, обратных матриц). Среди этих методов можно выделить две большие группы: прямые (или точные) и итерационные методы.

Прямые методы приводят к точному решению системы (если не учитывать вычислительные погрешности округлений), причем за конечное число шагов. К ним относятся методы Гаусса, Жордана, квадратного корня, оптимального исключения, отражений, и т.п.

Итерационные методы позволяют получить приближенное решение системы с заданной точностью, используя идею последовательных приближений. К ним относятся методы простой итерации, Зейделя, релаксации, установления, спуска и т. п.

Кроме перечисленных методов, позволяющих решать широкие классы линейных систем, используются специфические методы прогонки. Это прямые методы, которые, по существу, представляют собой модификации метода Гаусса, предназначенные для решения систем высокого порядка с сильно разреженными матрицами. Эти матрицы состоят в основном из нулей, а ненулевые элементы в них образуют определенные структуры (трехдиагональную, ленточную, клеточную, и т.п.). Подобные системы часто порождаются разностными и проекционными методами при решении краевых задач для дифференциальных уравнений. Методы прогонки очень эффективны. Например, при решении линейной системы n-го порядка с трехдиагональной матрицей методом правой прогонки требуется выполнить около арифметических операций. Приколичество операций составит около, то есть почти столько же, сколько требуется для решения системы сотого порядка по методу Гаусса.

Для решения плохо обусловленных линейных систем используется специальный метод регуляризации Тихонова.

Принципиально отличается от прямых и итерационных методов метод статистических испытаний (Монте-Карло), хотя он и не имеет большой практической значимости.

Каждый из существующих методов решения линейных систем имеет свою сферу применения, где он является наиболее эффективным. Эффективность названных численных методов зависит в основном от свойств матрицы системы (порядка, симметричности, меры обусловленности, заполненности).

Необходимость решать нелинейные системы алгебраических и трансцендентных уравнений возникает в вычислительной практике значительно реже. Математики-прикладники стараются не использовать методы, сводящие решение прикладной задачи к решению нелинейных систем. Это связано с тем, что нет общей теории их исследования, а также достаточно простых и эффективных методов их решения. Для решения нелинейных систем в основном используются метод Ньютона или методы спуска. Это итерационные методы. Применение их сопряжено с необходимостью предварительного исследования системы на предмет существования и единственности решения, локализации искомого решения и подбора начального приближения. Провести подобное исследование не просто даже для системы второго порядка. Кроме того, очень трудно проверить условия применимости этих методов и гарантировать достижение заданной точности.

Большинство имеющихся методов сводят решение нелинейных прикладных математические задач к системам нелинейных уравнений высокого порядка. Этим, отчасти, объясняется высокая сложность нелинейных прикладных задач.

В третьей главе мы рассмотрим три метода решения линейных систем, которые являются типичными представителями своих групп: метод Гаусса с выбором главных элементов в столбцах, метод простой итерации и метод правой прогонки. На их примере можно познакомиться с основными идеями, общими для многих других методов решения линейных систем. Кроме того, рассматривается метод Ньютона и Стеффенсена для решения систем нелинейных уравнений.