3.2. Метод Гаусса Постановка задачи решения линейной системы
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами (СЛАУ)
(3.2.1)
Введем обозначения для матрицы системы, столбца правых частей и столбца решений
,
,
.
Помимо введенной матрицы А, введем расширенную матрицу системы, получающуюся из матрицы А добавлением столбца правых частей
Матрица системы А и столбец правых частей b считаются заданными, а столбец x ищется. В векторно-матричной форме систему (3.1.1) можно записать короче:
.
(3.2.2)
Из общей теории линейных систем известно, что если
,
(3.2.3)
то система (3.1.1) имеет единственное решение. Мы в дальнейшем будем рассматривать только такие линейные системы.
Метод Гаусса с выбором главных элементов в столбцах Прямой ход метода Гаусса с выбором главных элементов в столбцах
Алгоритм решения линейной системы методом Гаусса состоит из прямого и обратного хода. Прямой ход метода Гаусса состоит из однотипных шагов, преобразующих расширенную матрицу системы (3.1.1). На k-м шаге прямого хода с помощью элементарных преобразований в k-м столбце устанавливается единица на главной диагонали матрицы системы и нули под главной диагональю. К элементарным преобразованиям относятся преобразования расширенной матрицы:
1) перестановка строк;
2) деление строки на число, отличное от нуля;
3) вычитание из одной строки расширенной матрицы другой строки, умноженной на некоторое число, отличное от нуля (при этом вторая строка не меняется).
Применение элементарных преобразований к расширенной матрице системы не изменяет решения системы. Поэтому линейная система, получаемая в результате элементарных преобразований над ее расширенной матрицей, должна быть равносильна исходной системе.
Прямой ход метода Гаусса имеет (n-1) шаг. В результате прямого хода метода Гаусса матрица системы становится верхней треугольной матрицей (под главной диагональю стоят нули, а на главной диагонали стоят единицы везде, за исключением последней строки).
Полученная в результате прямого хода система уравнений решается последовательно снизу вверх. В этом и состоит обратный ход метода Гаусса. Рассмотрим описанный в общих чертах алгоритм метода Гаусса подробнее и получим расчетные формулы.
Прямой
ход метода Гаусса с выбором главного
элемента в столбцах представляет собой
цикл, выполняемый последовательно для
.
Для того чтобы установить, что необходимо
делать наk-м
шаге этого цикла, запишем расширенную
матрицу системы, которая получается
после (
)
шага прямого хода (см. табл. 3.1):
Таблица 3.1
|
i j |
1 |
2 |
3 |
… |
k-1 |
k |
k+1 |
... |
n |
|
|
1 |
1 |
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
3 |
0 |
0 |
1 |
... |
|
|
|
... |
|
|
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
K-1 |
0 |
0 |
0 |
... |
1 |
|
|
... |
|
|
|
k |
0 |
0 |
0 |
... |
0 |
|
|
... |
|
|
|
k+1 |
0 |
0 |
0 |
... |
0 |
|
|
... |
|
|
|
... |
... |
... |
... |
... |
… |
... |
... |
... |
... |
... |
|
n |
0 |
0 |
0 |
... |
0 |
|
|
... |
|
|
Верхние
индексы элементов расширенной матрицы
указывают на номер шага прямого хода,
в результате которого получено значение
этого элемента. На k-м
шаге преобразуются строки матрицы с
номерами от k
до n.
В результате преобразований на месте
должна быть установлена 1, а на месте
,
…,
должны быть установлены нули. При этом
столбцы с 1-го до (k-1)-й
не должны измениться.