71

Глава 8. Численное интегрирование

Глава 8. Численное интегрирование

Решение многих прикладных задач часто сводятся к задаче вычисления интеграла. Для аналитического вычисления интеграла необходимо установить первообразную подынтегральной функции. В некоторых частных случаях это удается сделать (все эти случаи представлены в задачниках по математическому анализу и справочниках), но в общем виде задача вычисления интеграла аналитического решения не допускает. Именно для таких случаев и создаются методы численного интегрирования, позволяющие получать приближенные значения интегралов с любой точностью.

8.1. Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса Постановка задачи приближенного интегрирования. Квадратурные формулы

Задача приближенного вычисления определенного интеграла , формулируется следующим образом. Для заданного положительного числатребуется найти приближенное значение интегралаQ, абсолютная погрешность которого не превышает :

.

Один из наиболее широко используемых способов приближенного вычисления интегралов связан с применением квадратурных формул. Идея использования квадратурных формул заложена в определении интеграла. Напомним его. Для этого отрезок разобьем наn отрезков точками . На всех отрезках разбиения произвольным образом выбираются точкии обозначим,.

Согласно определению, интеграл Римана представляет собой предел интегральных сумм

. (8.1.1)

Отсюда следует, что интеграл I с любой точностью можно приблизить суммами вида

,

где  точки, принадлежащие отрезку , а некоторые постоянные числа. Таким образом, получается приближенная формула

, (8.1.2)

которую мы в дальнейшем будем называть квадратурной формулой. Точки будем называтьузлами, а числа  коэффициентами квадратурной формулы. Разность

(8.1.3)

называется остаточным членом (остатком) квадратурной формулы. Последнюю формулу можно переписать в виде

. (8.1.4)

Для решения задачи приближенного интегрирования с помощью квадратурной формулы (8.1.2) необходимо подобрать параметры так, чтобы абсолютная погрешность вычисляемого приближенного значения интегралане превышала, то есть

. (8.1.5)

Квадратурные формулы Ньютона – Котеса

Один из наиболее распространенных способов получения квадратурных формул основан на использовании приближений подынтегральной функции интерполяционными многочленами. Подынтегральная функция приближенно заменяется интерполяционным многочленом, где узлы интерполяции, выбранные на отрезке . В качестве приближенного значения интегралаQ выбирается интеграл от интерполяционного многочлена (в форме Лагранжа)

. (8.1.6)

Если обозначить , то формула (8.1.6) превратится в квадратурную формулу. Квадратурные формулы, интерполяционного типа, построенные на основе равноотстоящих узлов, называютформулами Ньютона – Котеса.

Далее мы рассмотрим наиболее часто встречающиеся квадратурные формулы Ньютона – Котеса, которые получаются описанным способом, при разных значениях n и различном выборе узлов .

Необобщенные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона

Запишем формулу (8.1.6) при ,. Тогда,

. (8.1.7)

Формула (8.1.7) называется формулой левых прямоугольников.

Р

Рис. 8.1

ассмотрим геометрический смысл формулы левых прямоугольников. Точное значение интегралаI равно площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком подынтегральной функции , справа и слева вертикальными прямыми и, а снизу – осьюOx. Приближенное значение интеграла Q численно равно площади прямоугольника, ограниченного сверху горизонтальной прямой , справа и слева вертикальными прямыми и, а снизу – осьюOx (рис. 8.1.1).

Запишем теперь формулу (8.1.6) при ,. Тогда,

. (8.1.8)

Ф

Рис. 8.2

ормула (8.1.8) называетсяформулой правых прямоугольников. Рассмотрим геометрический смысл формулы правых прямоугольников. Приближенное значение интеграла Q численно равно площади прямоугольника, ограниченного сверху горизонтальной прямой , справа и слева вертикальными прямыми и, а снизу – осьюOx (рис. 8.2).

Запишем формулу (8.1.6) при ,.

Тогда ,

. (8.1.9)

Ф

Рис. 8.3

ормула (8.1.9) называетсяформулой средних прямоугольников. Рассмотрим геометрический смысл формулы средних прямоугольников. Приближенное значение интеграла Q численно равно площади прямоугольника, ограниченного сверху горизонтальной прямой , справа и слева вертикальными прямыми и, а снизу – осьюx (рис. 8.3).

Запишем формулу (8.1.6) при ,,. Тогда

, . (8.1.10)

Ф

Рис. 8.4

ормула (8.1.10) называетсяформулой трапеций. Рассмотрим геометрический смысл формулы трапеций. Приближенное значение интеграла Q численно равно площади трапеции, ограниченной сверху прямой , справа и слева вертикальными прямыми и, а снизу – осьюx (рис. 8.4).

Запишем формулу (8.1.6) при ,,,. Тогда

,

. (8.1.11)

Ф

Рис. 8.5

ормула (8.1.11) называетсяформулой Симпсона (парабол).

Рассмотрим геометрический смысл формулы Симпсона. Приближенное значение интеграла Q численно равно площади трапеции, ограниченной сверху параболой , справа и слева вертикальными прямыми и, а снизу – осьюx (рис. 8.5).