Численные методы - учебник, пособие / ВМ_УЧЕБНИК / ПРЕДИСЛОВИЕ
.doc
ПРЕДИСЛОВИЕ
Численным методам решения вычислительных задач посвящено большое количество учебной литературы. Но она предназначена в основном для студентов-математиков, в то же время ощущается недостаток такой литературы для студентов специальностей 230105 - «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» и 230104 – «Системы автоматизированного проектирования», изучающих дисциплину «Вычислительная математика». Это обстоятельство и явилось причиной создания данного учебного пособия.
Дадим краткий обзор содержания пособия. Важную нагрузку в нем несет первая глава, закладывающая основы правильного понимания рассматриваемых в остальных главах вычислительных методов решения задач. В ней достаточно подробно излагается теория погрешностей приближенных вычислений в авторской интерпретации, рассматриваются решения прикладных задач и моделей с учетом полной погрешности численных результатов, понятия устойчивой и корректной постановки прикладных математических задач, влияние погрешности входных данных на погрешности результата.
Во второй главе рассматриваются итерационные методы решения уравнений с одним неизвестным для простых и кратных корней, влияние на точность решения погрешностей входных данных и вычислительных погрешностей, приводятся условия применимости и окончания итерационного процесса.
Численные методы решения сложной краевой задачи для дифференциальных уравнений нередко сводят ее решение к решению системы алгебраических или трансцендентных уравнений с сотнями, тысячами и даже миллионами неизвестных. Чаще всего получаются линейные системы с постоянными коэффициентами. Но даже линейные системы с таким большим количеством неизвестных решить не так просто. Применение метода Гаусса при достаточно большом количестве неизвестных оказывается невозможным из-за огромного объема вычислительной работы, с которым не могут справиться компьютеры, поэтому создаются новые численные методы решения систем алгебраических и трансцендентных уравнений. В третьей главе рассматриваются численные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений, а также методы решения сопутствующих задач вычисление определителей и обратных матриц.
В четвертой главе излагается теория многочленной интерполяции, одного из самых распространенных способов аппроксимации функций, рассматриваются способы построения интерполяционных многочленов с простыми и кратными узлами интерполяции, уделяется внимание оптимальному размещению узлов интерполяции с помощью многочленов Чебышева.
В пятой главе рассматриваются способы построения среднеквадратических приближений тригонометрическими многочленами и многочленами Лежандра, способы выбора наилучшего среднеквадратического приближения в заданном двухпараметрическом семействе нелинейных функций.
Шестая глава посвящена тригонометрической интерполяции и равномерным приближениям функций. Отметим, что результаты теории приближенных вычислений и теории аппроксимации функций постоянно используются учеными-экспериментаторами, инженерами и конструкторами при обработке экспериментальных данных.
В теории разностных методов, применяемых для решения сложных краевых задач для дифференциальных уравнений, важную роль играют аппроксимации (приближения) производных разностными отношениями. В седьмой главе рассматривается теория построения и исследования подобных аппроксимаций, а также одна из наиболее фундаментальных идей вычислительной математики – метод Рунге-Ромберга.
В наиболее простых и часто встречаемых на практике случаях решение прикладных задач сводится к вычислению интегралов. Для решения этой проблемы создано много численных методов. Большая часть из этих методов основана на применении квадратурных (кубатурных) формул. В восьмой главе рассматриваются различные численные методы, применяемые для вычисления определенных и кратных интегралов, а также для решения сопутствующих задач: табулирования первообразной функции и вычисления несобственных интегралов.
Прикладные задачи, возникающие на практике, чаще всего представляют собой краевые задачи для дифференциальных уравнений или интегральные уравнения. В настоящее время создано множество численных методов для решения подобных задач: разностные, проекционные, вариационные и другие. В девятой главе рассматриваются численные методы решения задачи Коши и некоторых видов граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
С развитием вычислительной техники появляются программы, облегчающие применение численной математики в инженерных и научных расчетах. В десятой главе рассматривается система Mathсad и ее применение для решения задач вычислительной математики.
Завершается учебное пособие списком используемой и рекомендуемой литературы и предметным указателем, используя который читатели могут быстро найти в пособии определения и разъяснения необходимых понятий.
Вычислительная математика – это не только наука, но и искусство, ее нельзя применять слепо и бездумно, она требует осознанного и творческого подхода.
Авторы благодарны инженеру М. В. Березиной за помощь, оказанную при оформлении и подготовке учебного пособия к изданию.