Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
122
Добавлен:
16.05.2015
Размер:
1.4 Mб
Скачать

110

Глава 9. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Глава 9. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Многие математические модели физики, химии, биологии и экономики сводятся к решению краевых (с начальными условиями для функции и ее производных) задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Чаще всего подобные задачи не поддаются полному аналитическому исследованию и для их решения используются приближённые численные методы. В настоящее время существуют надежные численные методы, позволяющие решать обыкновенные дифференциальные уравнения. Именно они обеспечили построение и исследование сложных математических и компьютерных моделей. В этой главе рассматриваются некоторые из численных методов.

9.1. Численные методы решения задачи Коши для уравнения первого порядка Понятия точного и приближённого решения задачи Коши. Погрешность приближённого решения

Среди краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений наиболее известной и изученной является задача с начальными условиями, называемая задачей Коши.

Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка на отрезке :

(9.1.1)

Б

Рис. 9.1

удем считать, что эта задача имеет единственное решение (функцию, определённую и диффе-ренцируемую на отрезке), и в дальнейшем будем называть еготочным решением задачи Коши.

Введёмравномерную сетку точек () на отрезке. Шаг сетки(рис. 9.1). Узлы сетки определим по формуле

. (9.1.2)

В качестве приближённого решения задачи Коши выберем сеточную функцию. Это характерная особенность всех разностных методов. Значения приближённого решения задачи Коши в узлах сетки обозначим. Сравнить значения точного и приближённого решения можно только в узлах сетки. Так, в узлезначение точного решения равно, а приближённого (рис. 9.2).

А

Рис. 9.2

бсолютной погреш-ностью приближённого решения в узленазывается.

Оценкой абсолютной погрешности при-ближённого решения в узле называется любое положительное число , удовлетворяющее неравенству .

Задача вычисления приближённого решения задачи Коши с заданной точностью обычно ставится следующим образом. Для заданного положительного числа требуется подобрать сеткуи найти приближённое сеточное решение задачи Коши, абсолютная погрешность которого во всех узлах сетки не превышает:

. (9.1.3)

При этом левая часть последнего неравенства называется погрешностью приближенного решения на сетке.

Для решения задачи разработано много методов. Рассмотрим один из таких методов, получивший название метода Эйлера.

Метод Эйлера

Приближённое решение задачи Коши с помощью формул численного дифференцирования. Дифференциальное уравнение (9.1.1) должно выполняться во всех точках отрезка , в том числе и во всех узлах сетки:

Используем формулу численного дифференцирования (7.1.17) для приближенного вычисления производной

.

Подставим это приближённое равенство в дифференциальное уравнение. В результате получится система приближённых алгебраических равенств

, .

Выразим из этих равенств и получим систему приближённых формул

, . (9.1.4)

Из начального условия задачи Коши (9.1.1) определяется

. (9.1.5)

Зная точное значение , по формуле (9.1.4) приn=0 приближённо определяем . Зная приближённое значение, по формуле (9.1.4) приn=1 приближённо определяем и так далее. Последним по формуле (9.1.4) приn=N-1 приближённо определяем .

Итак, мы получили способ определения приближённого решения, который и получил название метода Эйлера. Обозначим приближённые значения , полученные описанным образом, через. Запишем формулы, по которым получается приближённое решениепо методу Эйлера:

, (9.1.6)

, . (9.1.7)

Отметим, что в точке приближённое решение совпадает с точным, а далее с ростомn, погрешность приближённого решения будет нарастать. Можно ожидать, что с уменьшением h (с ростом N) погрешность приближённого решения будет уменьшаться и при () погрешность будет стремиться к нулю. А это, в свою очередь, означает, что метод Эйлера можно будет применять для решения поставленной задачи.

Приближённое решение задачи Коши с помощью формул численного интегрирования. Формулы метода Эйлера (9.1.6), (9.1.7) можно получить и другим способом. Проинтегрируем обе части дифференциального уравнения на отрезке:

. (9.1.8)

Интеграл в левой части равенства (9.1.8) можно найти по формуле Ньютона-Лейбница

. (9.1.9)

Для приближённого вычисления интеграла в правой части равенства (9.1.8) используем формулу левых прямоугольников

. (9.1.10)

Подставив равенства (9.1.9), (9.1.10) в (9.1.8) получим

.

Отсюда непосредственно следует приближённое равенство (9.1.4). Дальнейшие рассуждения проводятся так же, как и при получении приближенного решения задачи Коши с помощью формул.

Оценку погрешности приближенного решения , полученного методом Эйлера на сетке , будем проводить исходя из предположения, что задача Коши (9.1.1) имеет единственное решение – дифференцируемую (а потому и непрерывную и ограниченную) на отрезкефункцию, а функциянепрерывна вместе со своими частными производнымиив прямоугольникеP = . Здесь M  верхняя граница на отрезке.

Из непрерывности функции следует, что ,,также будут непрерывны и ограничены на отрезкеи должны существовать положительные постоянныетакие, что длябудут выполнены неравенства

, ,.

Из существования частных производных следует и существование на отрезке. В самом деле, продифференцируем обе части дифференциального уравнения (9.1.1) поx:

.

Правая часть этого равенства существует и представляет собой непрерывную и, следовательно, ограниченную функцию на отрезке . Отсюда следует существование, непрерывность и ограниченность левой частина отрезке. Кроме того, из последнего равенства следует

.

Для получения оценки погрешности рассмотрим разность между точным и приближённым решением в узлах сетки :. Приближённое решение определяется по рекуррентным формулам (9.1.6), (9.1.7). Запишем аналогичные приближённые рекуррентные формулы и для точного решения, разложив его в ряд Тейлора с центром в точкеи ограничившись членами второго порядка малости относительноh:

(9.1.11)

Вычтем из второго приближённого равенства (9.1.11) равенство (9.1.7):

.

С учетом новых обозначений для разности точного и приближённого решения окончательно получим

. (9.1.12)

Для того чтобы формулы выглядели менее громоздкими, введём краткие обозначения:

, , .

Тогда формула (9.1.12) примет вид

, . (9.1.13)

В силу начальных условий (9.1.6) и первого равенства (9.1.11)

. (9.1.14)

Таким образом, для определения последовательности мы также получили приближённые рекуррентные формулы. Зададим произвольное целое числоm из отрезка и применим полученные формулы для вычисления:

,

,

……………………………………………………………………………………. (9.1.15)

Используем полученную формулу для получения оценки абсолютной погрешности приближённого решения задачи Коши в узле . Абсолютная погрешность равна

. (9.1.16)

Запишем разложение экспоненты в ряд Тейлора и ограничимся членами первого порядка малости относительно h:

.

Тогда

Подставив это неравенство в (9.1.16), получим приближённое неравенство

В итоге мы получили искомую асимптотическую оценку погрешности приближённого решения в произвольном узле сетки

. (9.1.17)

Из полученной оценки следует, что приближённое решение задачи Коши сходится к точному при () и методом Эйлера, путём увеличения,N можно получать приближённые решения с любой заданной точностью.

Кроме того, оценка погрешности экспоненциально растёт с ростом. Следовательно, можно ожидать, что в большинстве случаев абсолютная погрешность приближённого решения задачи Коши будет иметь наибольшее значение на правом конце отрезка .

Аналогично тому, как мы получили оценку (9.1.17), можно показать, что метод Эйлера имеет первый порядок точности, то есть при.

Соседние файлы в папке ВМ_УЧЕБНИК