Метод Рунге-Кутта

Вычислительная схема метода Эйлера позволяет обеспечить только первый порядок точности. Естественно возникает вопрос: как получить вычислительные схемы с более высоким порядком точности.

При получении формул метода Эйлера вторым способом для приближённого вычисления интеграла использована формула левых прямоугольников с единственным узлом в точке. Обобщенная формула левых прямоугольников имеет первый порядок точности. Вычислительная схема метода Эйлера (9.1.6) (9.1.7) также имеет первый порядок точности. Естественно, если бы для вычисления интеграла использовалась квадратурная формула более высокого порядка точности, то получилась бы вычислительная схема приближённого решения задачи Коши также более высокого порядка точности.

Применим для вычисления интеграла формулу трапеций с двумя узлами в точках и:

. (9.1.18)

Обобщенная формула трапеций имеет второй порядок точности.

Подставим приближенное значение интеграла (9.1.18) в уравнение (9.1.8) и получим

.

Заменим в правой части этого равенства по формуле Эйлера наи, выразивиз левой части, получим

(9.1.19)

Дополнив эти рекуррентные формулы начальным условием

, (9.1.20)

получим новую рекуррентную вычислительную схему для приближённого решения задачи Коши. Введём некоторые обозначения:

значение приближённого решения задачи Коши, полученное с помощью схемы (9.1.19)  (9.1.20) в узле сетки ,

,  постоянные, введенные для приведения вычислительной схемы к некоторому стандартному виду,

, .

В этих обозначениях новая вычислительная схема примет вид

, (9.1.21)

(9.1.22)

Оценка погрешности приближённого решения, получаемого по вычислительной схеме (9.1.21)  (9.1.22), производится аналогично тому, как это было сделано для метода Эйлера. Полученная вычислительная схема действительно имеет второй порядок точности, если задача Коши имеет единственное решение, а функция и её частные производные до второго порядка включительно являются непрерывными и ограниченными. Таким образом, наше предположение оправдалось.

Подобным образом получены вычислительные схемы вида

, (9.1.23)

(9.1.24)

Здесь l – заданное целое число, ,и некоторые вещественные постоянные, значения которых подбираются так, чтобы полученная вычислительная схема (9.1.23), (9.1.24) имела наибольший порядок точности.

Таким путём получены схемы с высокими порядками точности. На практике же чаще всего используются несколько хорошо апробированных вычислительных схем. Приведём одну из них:

, (9.1.25)

(9.1.26)

Эта схема имеет четвёртый порядок точности (при), если задача Коши имеет единственное решение, а функцияи её частные производные до четвёртого порядка включительно являются непрерывными и ограниченными.

Впервые метод построения вычислительных схем приближённого решения задачи Коши высоких порядков точности был предложен Рунге и усовершенствован Куттом. Поэтому он получил название метода Рунге-Кутта. В последнее время в русскоязычной литературе этот метод все чаще называют методом Рунге-Кутты. Вычислительные схемы вида (9.1.23)  (9.1.24) также называются схемами Рунге-Кутта (или Рунге-Кутты). Интересно отметить, что вычислительная схема метода Эйлера также относится к семейству схем Рунге-Кутта (при l=1, ).

Мы не привели оценки погрешности вычислительных схем Рунге-Кутта (9.1.21) – (9.1.22) и (9.1.25) – (9.1.26). Дело в том, что эти оценки содержат величины, найти которые, зачастую, очень сложно. Поэтому они практически не используются.