269

Глава 6. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение

Глава 6. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение

В главе рассматриваются вопросы теории аппроксимации (тригонометрическая интерполяция и дискретное преобразование Фурье), имеющие практическое и теоретическое значение, а также вопросы наилучшего равномерного приближения.

6.1. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье Формулировка задачи интерполяции периодических функций тригонометрическими многочленами

Рассматривается задача интерполяции периодической функции , имеющей некоторый положительный периодL. Тогда для любого x из области определения этой функции должно выполняться равенство

. (6.1.1)

Будем считать, что известными являются значения этой функции в узлах равномерной сетки точек (узлах интерполяции)

, (6.1.2)

Обозначим значения функции в узлах сетки

, (6.1.3)

И

Рис. 6.1

з-за периодичности функциии множества узлов интерполяции значения функциибудут также повторяться с периодомN

,(6.1.4)

В качестве интерполирующей функции выберем также периодическую функцию – тригонометрический многочлен n-го порядка, который будем записывать в виде

,(6.1.5)

где ,, …,,,, …, произвольные вещественные постоянные коэффициенты. При любых целых неотрицательных значениях n и при любых вещественных значениях ,, …,,,, …,тригонометрический многочлен представляет собой периодическую функцию с периодомL:

(6.1.6)

Отсюда следует, что значения будут также повторяться с периодомN:

, (6.1.7)

Теперь можно сформулировать задачу интерполяции периодической функции тригонометрическими многочленами.

Задача тригонометрической интерполяции. Требуется найти тригонометрической многочлен n-го порядка (подобрать коэффициенты,, …,,,, …,), удовлетворяющий условиям интерполяции:

,

(6.1.8)

Обсудим эту формулировку. Прежде всего, заметим, что нет необходимости требовать выполнения условий интерполяции (6.1.8) при всех целых значениях m. Так как значения иповторяются с периодомN достаточно потребовать выполнения условий интерполяции (6.1.8) только на периоде, то есть для любых N целых значений величины m, идущих подряд, например при . Учтя это замечание и подставив в формулу (6.1.8) выражения для узлов интерполяции, запишем условия интерполяции в виде

(6.1.9)

.

Решение задачи интерполяции периодических функций тригонометрическими многочленами. Дискретное преобразование Фурье Решение задачи тригонометрической интерполяции

Условия тригонометрической интерполяции (6.1.9) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. Количество уравнений в этой системе равно N, а количество неизвестных  . Для того чтобы эта система имела единственное решение необходимо, чтобы количество уравнений и неизвестных совпадали:

. (6.1.10)

Если число N является нечетным, то число n можно определить непосредственно из этой формулы

. (6.1.11)

Если число N является четным, то можно выбрать порядок тригонометрического многочлена по формуле

, (6.1.12)

а один из лишних последних коэффициентов (или) положить равным нулю и не включать соответствующий член в сумму (6.1.5). Тогда тригонометрический многочлен (6.1.5) будет иметькоэффициентов.

Далее мы будем решать задачу тригонометрической интерполяции для одного часто встречающегося частного случая. Пусть число N является четным, а

. (6.1.13)

В этом случае узлы интерполяции ,, …,будут располагаться симметрично относительно середины отрезка(см. рис. 6.1). Выберемn по формуле (6.1.12) и исключим из суммы (6.1.5) член с коэффициентом . Тогда тригонометрический интерполяционный многочлен примет вид

. (6.1.14)

Учитывая это представление для тригонометрического интерполяционного многочлена и условие (6.1.13), получим соответствующие условия тригонометрической интерполяции для рассматриваемого частного случая

(6.1.15)

Количество уравнений и неизвестных линейной системы (6.1.15) совпадают при . Решение системы (6.1.15) можно производить, например, методом Гаусса, но в данном случае можно получить и явные формулы для вычисления искомых коэффициентов тригонометрического интерполяционного многочлена,, …,,,, …,.

Введем вектор f с координатами ,, …,.

Введем векторы с координатами,, …,, вычисляемыми по формулам

, . (6.1.16)

, ,. (6.1.17)

Введем векторы с координатами,, …,, вычисляемыми по формулам

, ,. (6.1.18)

, . (6.1.19)

В процессе преобразований (6.1.19) учтено, что .

С учетом введенных обозначений систему (6.1.15) можно записать в виде векторного равенства

. (6.1.20)

Рассмотрим систему введенных векторов . Общее количество векторов, входящих в эту систему, равно 2n=N. Если эта система векторов является ортогональной, то она будет линейно независимой и, следовательно, она будет образовывать базис в линейном векторном пространстве . Тогда формула (6.1.20) будет представлять собой разложение вектораf по этому базису, а искомые коэффициенты ,, …,,,, …, координаты вектора f в этом базисе. Найти эти координаты будет не сложно. Поэтому мы в начале убедимся в ортогональности нашей системы векторов.

Напомним, что скалярное произведение вектора f с координатами ,, …,и вектораg с координатами ,, …,в линейном векторном пространствеопределяется по формуле

, (6.1.21)

а условие ортогональности векторов f и g имеет вид

. (6.1.22)

Для того чтобы система векторов была ортогональной, необходимо, чтобы все ее векторы были попарно ортогональны:

при ,, (6.1.23)

при ,, (6.1.24)

при ,. (6.1.25)

Поскольку ивычисляются по формулам, отличающимся от формул, задающих остальные векторыи, удобно будет выделить скалярные произведения, содержащие эти вектора в формулах (6.1.23) (6.1.25):

, , (6.1.26)

при ,, (6.1.27)

при ,, (6.1.28)

, , (6.1.29)

при ,. (6.1.30)

Докажем равенство (6.1.26):

Здесь i –некий символ, такой что . В процессе преобразований использовалась одна из формул Эйлера

, ,

свойства комплексной экспоненты, а также формула суммы геометрической прогрессии

.

Равенство (6.1.26) доказано. Остальные условия ортогональности можно доказать аналогично.

Для определения координат вектора f в ортогональном базисе умножим скалярно обе части равенства (6.1.20) последовательно на все базисные векторы:

,

,

…………………………………………….

, (6.1.31)

,

…………………………………………….

,

.

Учитывая условия ортогональности (6.1.26)  (6.1.30), а также то, что , получим из системы (6.1.31)

,

,

……………………

, (6.1.32)

,

……………………

,

.

Для определения неизвестных коэффициентов осталось найти квадраты модулей базисных векторов.

, (6.1.33)

. В процессе преобразований использовалась одна из формул Эйлера, свойства комплексной экспоненты, а также формула суммы геометрической прогрессии. Итак, мы показали, что

, . (6.1.34)

Аналогично можно доказать, что

, . (6.1.35)

Значение последнего модуля находится легко:

. (6.1.36)

С помощью формул (6.1.32)  (6.1.36) получим искомые коэффициенты тригонометрического интерполяционного многочлена

, (6.1.37)

, , (6.1.38)

, , (6.1.39)

. (6.1.40)

Итак, мы построили тригонометрический интерполяционный многочлен для частного случая расположения узлов интерполяции, когда . Получены тригонометрические интерполяционные многочлены и для других частных случаев, а также для общего случая произвольной равномерной сетки узлов.