Дискретное преобразование Фурье

Систему равенств (6.1.15) можно интерпретировать как разложение сеточной функции с координатами в ряд Фурье. Поскольку пространство сеточных функций конечномерно (его размерностьN) и сеточные функции являются дискретными, ряды Фурье для них также получаются конечными. Поэтому левая часть равенства (6.1.15) называется конечным или дискретным рядом Фурье для сеточной функции с координатами , а постоянные() и() называютсядискретными коэффициентами Фурье. Процесс вычисления () и() по известным значениям() по формулам (6.1.37) (6.1.40) называют дискретным преобразованием Фурье. Дискретное преобразование Фурье применяется при решении многих задач вычислительной математики. Имеется алгоритм, позволяющий ускорить вычисления по формулам (6.1.37)  (6.1.40). Возможность такого ускорения связана с тем, что в слагаемых правых частей равенств (6.1.38), (6.1.39) можно выделить группы, которые входят в выражения для нескольких разных коэффициентов или. Дискретное преобразование Фурье, которое производится с использованием этого алгоритма, называетсябыстрым преобразованием Фурье. Более подробно о дискретном и быстром преобразовании Фурье, а также о тригонометрической интерполяции можно прочитать, например, в [6], [7] и [47].

Оценка погрешности тригонометрической интерполяции

Приведем без доказательства оценку погрешности тригонометрической интерполяции.

Пусть  периодическая функция с периодом L, имеющая непрерывную производную -го порядка (), и существует постояннаятакая, что для всехx выполняется

. (6.1.41)

Пусть также известны значения функциив точках сетки

,

Здесь N – заданное натуральное и четное число. По этим значениям построен тригонометрический интерполяционный многочлен порядка по формуле (6.1.14) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (6.1.37) (6.1.40).

Тогда будет справедлива оценка погрешности тригонометрической интерполяции

. (6.1.42)

Из оценки погрешности (6.1.42) следует, что при перечисленных условиях погрешность тригонометрической интерполяции стремится к 0 при (). Следовательно, любую периодическую и достаточно гладкую (имеющую ограниченную производную второго порядка) функцию можно приблизить тригонометрическим интерполяционным многочленом с любой заданной точностью.

Обозначим  шаг сетки узлов интерполирования. Выразим оценку погрешности через шаг:

. (6.1.43)

Таким образом, приближенная формула имеет-й порядок точности.

Можно показать, что тригонометрический интерполяционный многочлен «мало чувствителен» к погрешности значений .

6.2. Наилучшее равномерное приближение

Если задача о приближении функции решается в пространственепрерывных на отрезкефункций с нормой

(6.2.1)

и метрикой

, (6.2.2)

то говорят о равномерном приближении функции . Введенные по формулам (6.2.1), (6.2.2) норма и метрика называютсячебышевскими.

Рассмотрим задачу о построении наилучшего равномерного приближения функции алгебраическим многочленомn-й степени на отрезке. Иными словами, необходимо построить многочленn-й степени такой, что метрикабудут принимать наименьшее значение. Такой многочлен в дальнейшем будем называтьмногочленом наилучшего равномерного приближения для функции на отрезке и будем обозначать. Запишем в алгебраической форме произвольный многочлени многочлен наилучшего равномерного приближения

, (6.2.3)

. (6.2.4)

Тогда можно будет записать определение многочлена наилучшего равномерного приближения в развернутой форме

(6.2.5)

Таким образом, точка представляет собой точку минимума функции

. (6.2.6)

Приведем без доказательства две теоремы о существовании, единственности и свойствах многочлена наилучшего равномерного приближения.

Теорема 1. Для любой непрерывной на отрезке функциии для любого целого неотрицательного числаn существует единственный многочлен наилучшего равномерного приближения n-й степени , для которого выполняется равенство (6.2.5).

Теорема 2 (Чебышева). Многочлен является многочленом наилучшего равномерного приближения для непрерывной на отрезкефункциитогда и только тогда, когда на отрезкесуществует не менееточектаких, что в них функцияпоочередно принимает значения …Е, -Е, Е, -Е, …. Здесь. Точкиназываютсяточками чебышевского альтернанса.

В настоящее время не получен общий вид многочлена наилучшего равномерного приближения заданной степениn для произвольной функции на заданном отрезкеи общий способ его построения. Известны лишь способы построения многочленов наилучшего равномерного приближения невысоких порядков для некоторых узких классов функций, а также методика построения приближений для многочлена. Кроме того, в вычислительной практике зачастую гораздо важнее получить приближение с заданной точностью. А для этого использовать наилучшие приближения не обязательно. Поэтому многочлены наилучшего равномерного приближения до настоящего времени не применяются так широко как интерполяция или метод наименьших квадратов.

Далее мы р

Рис. 6.2

ассмотрим два простейших примера построения многочлена наилучшего равномерного приближения нулевого и первого порядка.

Пример 1.

Пусть функция непрерывна на отрезке. Требуется построить для нее многочлен наилучшего равномерного приближения нулевой степени

. (6.2.7)

Здесь  вещественная постоянная такая, что функция

(6.2.8)

принимает в точке наименьшее значение. То есть

. (6.2.9)

Функция непрерывна и ограничена на отрезкеи достигает на этом отрезке своих точных граней. Поэтому будут существовать, по крайней мере, две точкии, в которых функцияпринимает наименьшее и наибольшее значение (m и M) на отрезке , соответственно:

, ,,. (6.2.10)

Множество значений непрерывной на отрезке функции, очевидно, представляет собой множество. Сделаем в равенстве (6.2.9) замену переменных:

. (6.2.11)

Заметим, что значение функции представляет собой, в силу геометрического смысла модуля, расстояние от точкидо самого удаленного от нее конца отрезка. Поэтому (рис. 6.2)

(6.2.12)

Легко видеть, что наименьшее значение функция принимает прии равно оно. Таким образом,

, . (6.2.13)

Г

Рис. 6.3

еометрический смысл найденного многочлена наилучшего равномерного приближения иллюстрирует рисунок 6.3 На нем изображен график непрерывной на отрезкефункции. Функцияимеет на отрезкенесколько точек минимума и максимума, в которых значения функции равныm и M, соответственно. Причем в одной из этих точек максимум не является гладким, а одна из точек минимума совпадает с концом отрезка b. График многочлена представляет собой горизонтальную прямую, проходящую посередине между прямымии. На осиOx отмечены точки минимума и максимума функции на отрезке. Из них можно формировать пары точек чебышевского альтернанса. Например, такую пару могут образовывать первая точка максимума и первая точка минимума или первая точка минимума и вторая точка максимума.

Пример 2

Пусть функция дифференцируема на сегментеи график ее имеет выпуклость направленную вверх (или вниз) на всем интервале. Требуется построить для нее многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени

. (6.2.14)

Здесь и вещественные постоянные такие, что функция

(6.2.15)

принимает в точке наименьшее значение. То есть

. (6.2.16)

Рассмотрим функции ипри фиксированныхи. Функция, по условиям примера, является дифференцируемой на отрезкеи, следовательно, непрерывной, ограниченной на этом сегменте и достигает на нем своих точных граней. Поэтому на отрезкебудут существовать, по крайней мере, две точки, в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения функции.

Из непрерывности функции следует непрерывность функциина отрезке. Поэтому и функциядостигает на отрезкесвоего наибольшего значения. Следовательно, на отрезкебудет существовать, по крайней мере, одна точка, в которой достигается это наибольшее значение.

Любая точка, в которой принимает наибольшее значение функция , очевидно, должна совпадать с одной из точек максимума или минимума функции. График функциии, следовательно, функцииимеет выпуклость направленную вверх (или вниз) на всем интервале. Поэтому на интервалесуществует только одна точка экстремума функции. Обозначим ееd. Отсюда следует, что любая точка максимума функции может находиться либо в точке d, либо на концах отрезка . С другой стороны, многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени, согласно теореме Чебышева, должен иметь не менее трех точек чебышевского альтернанса на отрезке. Поэтомуточками чебышевского альтернанса на отрезке могут быть только точки a, b, d.

В точке d функция имеет гладкий экстремум, поэтому

. (6.2.17)

Вид экстремума в точке d зависит от направления выпуклости графика функции на отрезке.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1. Выпуклость графика функции и, следовательно, функции на отрезке направлена вверх. Тогда в точке d функция будет иметь локальный максимум. А в силу того, что эти точки являются точками чебышевского альтернанса, в точкахa и b функция будет иметь локальный минимум, причем должны выполняться равенства

, (6.2.18)

, (6.2.19)

, (6.2.20)

где .

Мы получили систему четырех уравнений (6.2.17)  (6.2.20) с четырьмя неизвестными ,,d, Е. Решив ее, получим неизвестные значения и. Вычтя из равенства (6.2.20) равенство (6.2.18) и выразив, получим

. (6.2.21)

Из равенства (6.2.17), (6.2.21) получим

. (6.2.22)

Решив уравнение (6.2.22) на интервале , получим значение d. Если это уравнение не решается точно (аналитически), его можно решить численными методами с заданной точностью (см. главу 2). Итак, будем далее считать, что корень уравнения (6.2.22) нам известен. Сложим равенства (6.2.18), (6.2.19) и выразим:

.

Подставив сюда найденные значения и, получим искомое значение второго параметра

(6.2.23)

Г

Рис. 6.4

еометрический смысл найденного многочлена наилучшего равномерного приближения иллюстрирует рис. 6.4. На нем изображен график функции, выпуклость которого направлена вверх. Поскольку угловой коэффициентпрямой,равен, эта прямая (график многочлена) будет параллельна прямой, проходящей через точкии. Кроме того, поскольку, касательная к графику функции в точке будет также параллельна прямой, проходящей через точкии. А из равенств (6.2.18) (6.2.20) следует, что прямая будет находиться посередине между прямой, проходящей через точкиии касательной к графику функции в точке .

Случай 2. Выпуклость графика функции и, следовательно, функции на отрезке направлена вниз. Рассматривается аналогично. Сделайте это самостоятельно.