Вычисление несобственных интегралов

Для вычисления несобственных интегралов существует несколько методов. Мы ограничимся рассмотрением только двух видов одномерных несобственных интегралов и одного из методов их приближенного вычисления.

Интегралы с бесконечным пределом интегрирования. Пусть требуется вычислить приближенное значение несобственного интеграла с погрешностью, не превышающей заданного положительного числа. Согласно определению,

. (8.4.9)

Поэтому в качестве приближенного значения несобственного интеграла можно выбрать значение при достаточно большом значении величиныb. Осталось найти это значение.

Представим искомый несобственный интеграл в виде суммы:

. (8.4.10)

Выберем значение величины b исходя из требования, чтобы

, (8.4.11)

а затем используем для вычисления приближенного значения определенного интеграла какую-нибудь квадратурную формулу. Обозначим черезQ приближенное значение этого определенного интеграла, вычисленное с помощью квадратурной формулы с погрешностью, не превышающей . ТогдаQ будет также представлять собой и приближенное значение несобственного интеграла с погрешностью, не превышающей . В самом деле,

(8.4.12)

Пример 1

Требуется найти приближенное значение несобственного интеграла с погрешностью, не превышающей.

Оценим сверху левую часть неравенства (8.4.11):

.

Для выполнения неравенства (8.4.11) достаточно потребовать, чтобы выполнялось неравенство . Таким образом, мы можем выбрать. Осталось вычислитьQ – приближенное значение определенного интеграла с погрешностью, не превышающей. Это можно сделать с помощью любой из квадратурных формул, как показано выше (мы не будем этого делать). Полученное значениеQ можно использовать в качестве искомого приближенного значения несобственного интеграла с погрешностью, не превышающей .

Интегралы от неограниченных функций. Пусть имеется функция , не ограниченная в окрестности точкии такая, что существует несобственный интеграл. Требуется вычислить приближенное значение несобственного интеграла с погрешностью, не превышающей заданного положительного числа .

Согласно определению,

. (8.4.13)

Поэтому в качестве приближенного значения несобственного интеграла можно выбрать значение при значении величиныc, большем a и достаточно близком к a. Осталось найти это значение.

Представим искомый несобственный интеграл в виде суммы

. (8.4.14)

Выберем значение величины c исходя из требования, чтобы

, (8.4.15)

а затем используем для вычисления приближенного значения определенного интеграла какую-нибудь квадратурную формулу. Обозначим черезQ приближенное значение этого определенного интеграла, вычисленное с помощью квадратурной формулы с погрешностью, не превышающей . ТогдаQ будет также представлять собой и приближенное значение несобственного интеграла с погрешностью, не превышающей .В самом деле,

(8.4.16)

Пример 2

Требуется найти приближенное значение несобственного интеграла с погрешностью, не превышающей.

Подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки . Оценим сверху левую часть неравенства (8.4.15):

.

Для выполнения неравенства (8.4.15) достаточно потребовать, чтобы выполнялось неравенство . Таким образом, мы можем выбрать. Осталось вычислитьQ – приближенное значение определенного интеграла с погрешностью, не превышающей. Это можно сделать с помощью любой из квадратурных формул, как показано выше (мы не будем этого делать). Полученное значениеQ можно использовать в качестве искомого приближенного значения несобственного интеграла с погрешностью, не превышающей .