Вычисление кратных интегралов. Кубатурные формулы

Для вычисления интегралов, кратность которых не превышает четырех, обычно используются квадратурные формулы, которые в этом случае называют также кубатурными. Если кратность интеграла выше четырех, то используется метод Монте-Карло, легко обобщающийся на многомерный случай. Рассмотрим пример построения кубатурной формулы для вычисления двойного интеграла методом повторного интегрирования.

Пусть требуется вычислить приближенное значение двойного интеграла

(8.4.16)

с

Рис. 8.12.

погрешностью, не превышающей заданного положительного числа . Область G на плоскости ограничена вертикальными прямыми и, а также графиками функцийи(рис. 8.12). Будем считать, что функциянепрерывна в областиG вместе со своими частными производными до второго порядка включительно, а функции идважды непрерывно дифференцируемы на отрезке .

Запишем искомый двойной интеграл в виде повторного

, (8.4.17)

где

. (8.4.18)

Используем для приближенного вычисления определенного интеграла (8.4.17) обобщенную формулу средних прямоугольников

, (8.4.19)

где

, ,. (8.4.20)

Согласно равенству (8.4.18),

, . (8.4.21)

Для приближенного вычисления интегралов (8.4.21) также будем использовать обобщенную формулу средних прямоугольников

, (8.4.22)

где

, ,

, . (8.4.23)

Заменим в формуле (8.4.19) точные значения интегралов приближенными значениями. В результате получим еще одно приближенное значение двойного интеграла

. (8.4.24)

В последней формуле приближенное значение интеграла Q представляется в виде суммы значений подынтегральной функции в отдельных точках области интегрирования G (узлах) с определенными коэффициентами. Подобные формулы называют кубатурными. На рисунке 8.12 показано расположение узлов кубатурной формулы (квадратики), а также точек(кружки) при,.

Получим асимптотическое разложение погрешности полученной кубатурной формулы (8.4.24)

при . (8.4.25)

В этой формуле слишком много параметров: . Чтобы можно было определить порядок точности этой формулы и применить правило Рунге, необходимо выделить один главный параметр, при стремлении которого к 0 разностьстремилась бы тоже к 0. Выберем в качестве такого шаг. Выбор остальных шаговподчиним требованию

. (8.4.26)

Этого можно добиться, выбрав

, . (8.4.27)

Здесь квадратными скобками обозначена функция вычисления целой части вещественного числа. При таком выборе будет выполнено условие (8.4.26), причем погрешность этого приближенного равенства представляет собойприи

Тогда из формулы (8.4.25) получим

при . (8.4.28)

Таким образом, если выбирать по формуле (8.4.27), то кубатурная формула (8.4.24) будет иметь второй порядок точности при .

Рассмотрим алгоритм вычисления приближенного значения двойного интеграла Q . Единственным исходным данным осталось значение величины m. Поэтому в дальнейшем будем обозначать это приближенное значение двойного интеграла .

Вначале по формулам (8.4.20) вычисляются и, затем по формуле (8.4.27) вычисляются, по формуле (8.4.23) вычисляютсяии, наконец, по формуле (8.4.24) вычисляется приближенное значение интеграла.

Чтобы получить приближенное значение двойного интеграла с заданной точностью , можно использоватьправило Рунге. Выберем и с учетом того, что порядок точности кубатурной формулыp равен 2, запишем асимптотическую оценку погрешности (6.3.7)

. (8.4.29)

Для получения приближенного значения интеграла с погрешностью, не превышающей заданного положительного числа , задается последовательность значений параметраm, которая представляет собой растущую геометрическую прогрессию

, ,,, …

Очевидно, , следовательно,.

Далее вычисляются последовательно приближенные значения прии при каждом значенииn проверяется выполнение неравенства

, . (8.4.30)

Рано или поздно, при достаточно большом значении n, это неравенство выполнится, и мы получим приближенное значение интеграла , которое будет иметь погрешность, приближенно не превышающую.

Аналогично строятся и используются другие кубатурные формулы. При этом вместо формулы средних прямоугольников можно использовать любые другие квадратурные формулы.