Численные методы - учебник, пособие / ВМ_УЧЕБНИК / Введение2
.doc
Он предполагает активное использование вычислительной техники для решения сложных прикладных задач, создание математических и компьютерных моделей.
Рассмотрим метод вычислительного эксперимента более подробно.
Пусть требуется исследовать некоторый объект (явление или процесс). На первом этапе исследования строится математическая модель объекта, представляющая собой его математическое описание. При построении модели вводятся основные величины, значения которых характеризуют состояние объекта, и с помощью известных законов природы устанавливаются связи между этими величинами. Далее выделяются величины, значения которых необходимо найти (результаты) и величины, значения которых считаются известными (исходные данные). Между исходными данными и результатами обычно имеется связь, выражаемая какими-либо математическими отношениями. Чаще всего эта связь выражается уравнениями (алгебраическими, трансцендентными, дифференциальными, интегральными, интегро-дифференциальными, дифференциально-разностными и т. п.). При построении математических моделей обычно используются идеализации, позволяющие упростить получаемую математическую модель. Поэтому математическая модель, как правило, лишь приближенно описывает исследуемый объект. Выбор используемых при построении модели идеализаций определяется требуемой точностью получаемых результатов и нашими возможностями в исследовании сложных математических моделей. В любом случае построение математической модели, абсолютно точно описывающей объект исследования, как правило, невозможно. Чем точнее математическое описание, тем оно сложнее для исследования. На практике приходится отбирать и учитывать при построении математической модели только наиболее существенные черты описываемого объекта. Получаемая модель должна быть доступной для исследования современными математическими методами. Во всех случаях проводится предварительное исследование математической модели, в рамках которого выделяется множество допустимых значений исходных данных, устанавливается (если это возможно) существование и единственность получаемых результатов (для любого допустимого набора исходных данных), проводится исследование непрерывной зависимости результатов от исходных данных. В процессе этих исследований ставятся прикладные математические задачи вычисления искомых результатов по заданным исходным данным. Эти задачи часто не поддаются аналитическому решению и единственно возможным способом их решения является применение специальных математических методов, позволяющих использовать для решения прикладных задач компьютер. Подобные методы получили название численных методов.
На втором этапе исследования строятся или подбираются готовые численные методы для решения возникших прикладных задач с помощью компьютера. Как правило, численные методы позволяют получать не точное, а только приближенное решение. На основе численных методов создаются вычислительные алгоритмы, реализуемые в виде компьютерных программ (рисунок).
На третьем этапе исследования составляются компьютерные программы, реализующие выбранные на предыдущем этапе численные методы и алгоритмы, производится отладка и тестирование составленных программ. В процессе отладки и тестирования программы стараются обнаружить и устранить все ошибки, которые могут возникнуть при построении и исследовании математической модели, при разработке численного метода, вычислительного алгоритма, а также при написании программы. Проще всего обычно находятся ошибки программирования. Поиск ошибок программирования и называют отладкой программы. Найти остальные ошибки гораздо сложнее. Для того чтобы обнаружить эти ошибки или убедиться в том, что их нет, результаты, получаемые с помощью отлаженной программы, сравниваются с другими надежными результатами (результатами натурных экспериментов и результатами, полученными с помощью других программ). Каждое такое сравнение называется тестом, а процесс проверки правильности работы программы на тестах – тестированием. Отлаженная и протестированная программа решения прикладной задачи представляет собой (вместе с компьютером и программным обеспечением, необходимым для правильной работы программы) компьютерную модель исследуемого явления или процесса (рисунок). Результаты, получаемые с помощью компьютерных моделей, обычно являются приближенными. В них содержатся погрешности математической модели, численного метода и вычислительного алгоритма, а также погрешность, неизбежно вносимая компьютером в процессе вычислений и связанная с округлением данных, хранимых в памяти компьютера. Учет погрешности результатов, получаемых с помощью компьютерной модели, представляет собой непростую задачу. Погрешность численного метода, алгоритма и даже погрешность, связанную с округлениями, часто удается оценить. А погрешность математической модели оценить обычно не удается. Единственный способ убедиться, что получаемые результаты действительно имеют прогнозируемую точность, это тестирование. Именно поэтому тестирование является обязательным этапом создания компьютерной модели. Но тестирование является выборочным, поэтому всегда остается причина для сомнений в правильности получаемых результатов. С другой стороны, поскольку компьютерная модель все равно подлежит тестированию, иногда можно позволить себе некоторые послабления при теоретическом исследовании математической модели. Если, например, не удается выяснить условия существования получаемых результатов, то этого и не делают. Но в этом случае появляется еще одна причина для сомнений.
На четвертом этапе исследуется построенная компьютерная модель. Это исследование по своему характеру является экспериментальным, поэтому его называют вычислительным экспериментом (см. рисунок). При проведении вычислительных экспериментов с помощью компьютерной модели получают зависимости результатов от исходных данных, и, используя эти зависимости, находят новые закономерности в поведении исследуемого явления или процесса.
Метод вычислительного эксперимента позволяет радикально расширить круг прикладных задач, поддающихся теоретическому исследованию. Важной отличительной чертой метода вычислительного эксперимента является применение численных методов и компьютера для решения прикладных задач. Активно развивается отрасль математики, которую называют вычислительной или прикладной математикой, в рамках которой строятся и исследуются численные методы и вычислительные алгоритмы решения прикладных задач.
Особенностью численных методов является ориентация на использование вычислительной техники. Компьютер позволяет хранить в своей памяти большие объемы числовых данных и быстро производить с ними несложные операции. Основная задача численных методов состоит в том, чтобы свести решение исходной прикладной задачи к выполнению цепочки простых, доступных для компьютера и его программного обеспечения операций с числовыми данными. Эта цепочка должна быть не очень длинной, чтобы процесс вычислений не занимал слишком много времени. А объем хранимых данных не должен превышать объема доступной памяти компьютера. Не многие математические задачи позволяют получить их точное решение таким образом. Но, как оказалось, таким путем можно получать приближенные решения очень многих сложных задач, причем с заданной точностью. Так возникает другая особенность численных методов, заключающаяся в том, что численные методы, как правило, позволяют получать только приближенное решение и, по существу, представляют собой методы приближенных вычислений. Общее требование, которое обычно предъявляется к любому приближенному численному методу, заключается в том, чтобы можно было получить с его помощью приближенное решение с заданной точностью.
При классификации численных методов используются два подхода. При первом подходе численные методы подразделяются по предметным областям, которым принадлежат моделируемые объекты. Так, можно встретить в литературе упоминание о численных методах газодинамики, электродинамики, экономики и т. п. Но в конечном счете численными методами решаются математические задачи, причем нередко в разных предметных областях возникают практически идентичные прикладные математические задачи. Например, процессы распространения тепла, диффузии и процессы распространения биологического вида описываются одним и тем же дифференциальным уравнением. Поэтому первый способ классификации численных методов не позволяет разбить множество численных методов на непересекающиеся классы. В учебной литературе обычно преобладает другой подход, при котором за основу берутся виды математических задач, для решения которых используются численные методы. Так, выделяют численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений, численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, методы численного дифференцирования и интегрирования.
Так как численные методы в большинстве своем являются приближенными, большое внимание в теории численных методов уделяется ведению приближенных вычислений и методам учета погрешностей вычислений, а также вопросам аппроксимации (приближения) функций.
В заключение отметим, что никакие теория и советы не могут заменить опыта вычислительной работы. Только совмещая глубокую проработку теоретического материала с реализацией решений прикладных задач на ЭВМ, можно перейти от решения учебных к решению серьезных практических задач.