Локализация решения систем нелинейных уравнений
Одной из наиболее
трудных проблем, возникающих при решении
систем нелинейных уравнений, является
задача локализации решения. Рассмотрим
один из методов, широко применяемый на
практике при вычислениях. Иногда бывает
полезно свести задачу отыскания решения
системы нелинейных уравнений к задаче
отыскания минимума функции многих
переменных. В простейшем варианте это
сведение выглядит следующим образом.
Введем функцию Ф(x)
=
х
.Она
неотрицательна и достигает своего
минимума (равного нулю) тогда и только
тогда, когда
x
)
для всех i
= 1, 2, ..., n,
то есть х
является решением системы (3.5.26).
Применяя для
отыскания минимума функции Ф один из
итерационных методов минимизации —
метод спуска, можно найти вполне
удовлетворительное приближение к
решению х
,
которое затем имеет смысл использовать
как начальное приближение
в одном из итерационных методов решения
нелинейных систем.
Выгода от указанного сведения исходной задачи к задаче минимизации состоит в том, что, как правило, методы спуска имеют более широкую область сходимости. Использование методов спуска можно рассматривать и как один из способов локализации решений системы (3.4.26). Применение на заключительном этапе методов, специально ориентированных на решение нелинейных систем, вызвано тем, что вблизи искомого решения методы спуска сходятся медленнее.
Следует отметить, что функция Ф(х) может иметь и ненулевые вокальные минимумы, и в зависимости от выбора начального приближения методы спуска могут приводить к точкам локального минимума, не являющимся решениями системы (3.5.26).
Контрольные вопросы и задания
Как влияют погрешности коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов на погрешность полученного решения системы нелинейных уравнений?
Запишите алгоритм метода Гаусса с выбором главных элементов в столбцах для решения линейной системы.
Как применяется метод Гаусса для вычисления определителей? Запишите алгоритм вычисления определителя методом Гаусса.
Как применяется метод Гаусса для вычисления обратных матриц? Запишите алгоритм вычисления обратной матрицы методом Гаусса.
Запишите алгоритм метода правой прогонки для решения линейных систем с трехдиагональными матрицами. Как он получается из общей схемы метода Гаусса? Обоснуйте условия применимости метода правой прогонки.
Как конкретизируется принцип сжимающих отображений для приближенного решения линейных систем? Запишите алгоритм метода простой итерации для решения линейной системы. Запишите и обоснуйте условия при которых отображение F является сжимающим. Как приводится линейная система к виду, удобному для применения метода простой итерации?
Как можно получить итерационную формулу метода касательных путем линеаризации уравнения? Что такое порядок сходимости последовательности приближений? Как связан порядок сходимости со скоростью сходимости? Запишите и обоснуйте условия, при которых последовательность приближений, получаемая по методу касательных, будет иметь второй порядок сходимости. Запишите и обоснуйте асимптотическое условие окончания итераций для метода касательных.
Как строится последовательность приближений в методе Ньютона для решения систем нелинейных уравнений? Какие используются условия окончания итераций?
Как строиться последовательность приближений в упрощенном методе Ньютона для решения систем нелинейных уравнений? Укажите достоинства и недостатки этого метода по сравнению с методом Ньютона.
Как строиться последовательность приближений в методе Стеффенсена для решения систем нелинейных уравнений?
Как найти хорошее начальное приближение решения систем нелинейных уравнений, используя методы спуска?