Контрольные вопросы и задания
Что такое точное и приближенное значение числовой величины, абсолютная и относительная погрешность, множество принадлежности точного значения, оценка абсолютной и относительной погрешности, предельная абсолютная погрешность, предельная относительная погрешность. Какое соответствие между множеством оценок абсолютной и относительной погрешности можно установить?
Что такое границы значений числовых величин, точные границы? Какова связь
и
с
и
?Что такое значащие цифры, верные цифры? Как связано количество верных цифр с абсолютной и относительной погрешностью? Что такое погрешность округления и округленного приближенного значения? Как они связаны? Сформулируйте и обоснуйте первое правило верных знаков.
Докажите линейные оценки погрешностей для суммы, разности, произведения, частного и функции одной переменой.
Как вычисляется предельная абсолютная погрешность функций одной и многих переменных? Запишите и обоснуйте линейную оценку погрешности приближенного значения функции нескольких переменных.
В чем смысл метода границ? Докажите формулы для определения границ результатов элементарных операций (суммы, разности, произведения, частного и функции одной переменой). Что делать в случае невыполнения условий применимости этих формул? Приведите примеры.
Опишите обобщенный метод границ. Приведите пример.
Сформулируйте и обоснуйте второе, третье и четвертое правила верных знаков.
Что такое доверительное множеством принадлежности точного значения величины x с вероятностью
,
оценкой
абсолютной и относительной погрешности
приближенного значения
с вероятностью
,предельная
абсолютная (относительная) погрешность
с вероятностью
,
верхняя
(нижняя) граница x
с вероятностью
,точная верхняя
(нижняя) граница величины x
с вероятностью
?
Какова связь
между значениями
и
с одной стороны и соответствующими
значениями границ
и
с другой стороны?Опишите метод статистического усреднения.
Как распространяются основные понятия теории погрешностей на объекты метрических пространств?
Опишите метод последовательных приближений в произвольном метрическом пространстве.
Что такое полные метрические пространства, неподвижные точки? Сформулируйте принцип сжимающих отображений.
Что называют полной погрешностью прикладной математической задачи и из каких компонентов она состоит?
Дайте определение корректно поставленной прикладной задачи. Приведите примеры корректно и некорректно поставленных прикладных задач.
Дайте определение прикладной задачи устойчивой на паре пространств (U,Z). Приведите примеры устойчивой и неустойчивой прикладных задач.
Сформулируйте понятие плохо и хорошо обусловленных математических задач.
Покажите, какие связи существуют между постановкой математической задачи и эффективностью численных методов ее решения.
Покажите, как связаны погрешности результата с представлением численных данных в памяти компьютера.
Сформулируйте, что такое полная, погрешность вычислений и как она зависит от количества вычислительных операций.