1.12. Прикладные задачи и модели.

Структура полной погрешности численных результатов

Формулировки прикладных математических задач

Прикладные математические задачи, для решения которых используются численные методы, возникают при построении и исследовании прикладных математических моделей различных объектов (явлений и процессов) в природе и обществе.

В формулировке любой прикладной математической задачи требуется по заданным исходным данным получить (определить, вычислить) некоторые результаты. Набор результатов, определенных в процессе решения прикладной задачи по заданному набору исходных данных, назовем решением (точным решением) прикладной задачи.

Введем две величины u и z, которые в своей структуре содержат все исходные данные и результаты, соответственно. Наборы исходных данных, таким образом, представляют собой значения величины u, а наборы соответствующих им результатов (решения прикладной задачи) являются значениями величины z.

Введем также множества значений переменных u и z и обозначим их через U и Z. Обычно стараются, чтобы множество U содержало все значения исходных данных u, при которых прикладная задача имеет единственное решение. А множество Z должно содержать все решения прикладной задачи z.

Нередко исходные данные для прикладной задачи имеют погрешности и известны неточно. Результаты, получаемые численными методами, чаще всего также являются приближенными. Для того чтобы можно было ввести понятие погрешности приближенного решения прикладной задачи и погрешности набора исходных данных, необходимо ввести метрики на множествах U и Z, то есть превратить эти множества в метрические пространства. Обычно метрики вводятся с учетом специфики прикладной задачи, структуры исходных данных и результатов, типов данных, а также выбранных множеств значений U и Z. Будем считать, что на множествах U и Z введены метрики _u(u₁,u₂), u₁,u₂U, _z(z₁,z₂), z₁,z₂Z. Полученные в результате этого метрические пространства будем обозначать так же, как и множества значений переменных – U и Z.

Структура полной погрешности численных результатов

Пусть имеется некоторый объект (явление или процесс). Для исследования этого объекта создана математическая модель и сформулирована прикладная математическая задача. Наборы исходных данных и результатов этой задачи U и Z характеризуют состояние моделируемого объекта. Обозначим через u_e и z_e те значения переменных u и z, которые эти величины имеют в исследуемом объекте (в реальности). Математическая модель, как правило, описывает состояние объекта приближенно. Поэтому значение результата z_ap (получаемого при точном решении прикладной математической задачи), соответствующее набору исходных данных u_e будет отличаться от z_e. Кроме того, чаще всего получить точное решение прикладной математической задачи z_ap невозможно. Именно в этих случаях используют численные методы, которые позволяют получить только приближенное решение z_nm, отличное от z_ap. Вычисление z_nm производится на компьютере, имеющем ограниченную разрядную сетку. Компьютер производит округление промежуточных и окончательных результатов, и, следовательно, набор численных результатов z_c, полученный с помощью компьютера отличается от z_nm. Таким образом, набор численных результатов z_c, полученный с помощью компьютера для набора исходных данных u_e, является приближением для набора результатов z_nm, который дал бы нам численный метод, если все вычисления производились абсолютно точно. А z_nm,, в свою очередь, является приближением для набора результатов z_ap, которые мы получили бы, точно решив прикладную математическую задачу. И наконец, z_ap является приближением для z_e – значения величины z, которое она имеет в реальности и которое является ее точным значением.

Итак, вместо точного значения результата z_e мы с помощью компьютера получаем приближенное значение z_c. Абсолютная погрешность набора численных результатов z_c согласно определению равна _z(z_e,z_c). Оценить ее часто бывает непросто, но в силу третьей аксиомы метрики (аксиомы треугольника) можно записать неравенство

_z(z_e,z_c)  _z(z_e,z_ap) + _z(z_ap,z_nm) + _z(z_nm,z_c). (1.12)

Слагаемое _z(z_e,z_ap) в правой части этого неравенства представляет собой меру близости между точным значением z_e и приближением z_ap, которое дает нам математическая модель (прикладная математическая задача). Для устранения или уменьшения этой погрешности нужно менять математическую модель. Поэтому _z(z_e,z_ap) называют погрешностью математической модели, или погрешностью прикладной математической задачи, или неустранимой погрешностью.

Второе слагаемое _z(z_ap,z_nm) представляет собой меру близости между точным решением прикладной математической задачи z_ap и приближением z_nm для решения, которое дает численный метод. Поэтому _z(z_ap,z_nm) обычно называют погрешностью численного метода.

Третье слагаемое _z(z_nm,z_c) – мера близости между точным результатом численного метода z_nm и приближением для него z_c, которое мы получим, вычислив z_nm на компьютере. Так как разница между z_nm и z_c возникает вследствие округлений, третье слагаемое _z(z_nm,z_c) обычно называют вычислительной погрешностью, или погрешностью округлений. Величину _z(z_e,z_c) нередко называют полной погрешностью численных результатов.

При решении прикладных задач на ЭВМ обычно удается оценить погрешность метода, очень редко удается оценить погрешность округлений. Что же касается погрешности прикладной задачи, то ее оценить обычно не удается. Поэтому полная оценка погрешности _z(z_e,z_c) обычно неизвестна, и для того чтобы гарантировать правильность получаемых результатов z_c, приходится проводить тестирование компьютерной программы. Оно заключается в том, что сравниваются некоторые численные результаты, полученные с помощью данной программы, с другими надежными результатами, например с аналогичными результатами натурных экспериментов или с результатами, полученными с помощью других программ. Провести такое сравнение для всех допустимых наборов исходных данных из множества U, очевидно, невозможно. Проверка на тестах всегда является выборочной, поэтому тестирование не дает полной гарантии того, что получаемые численные результаты, не прошедшие проверки на тестах, имеют заданную точность, и с этим приходится мириться.