1.4. Округление. Погрешность округления. Первое правило верных знаков

Операция округления постоянно используется в различных расчетах. При ручных вычислениях обычно используется симметричное округление. Правила симметричного округления изучаются в школе. Существует ещё и простое отсечение, когда лишние разряды просто отбрасываются. Такой способ используется в вычислительной технике.

При округлении приближенных значений величин получаются новые приближенные значения, погрешность которых, как правило, больше погрешности исходных неокругленных приближенных значений.

Пусть, например, известно точное значение величины =1,234567 и приближенное ее значение=1,234678. Округлим, оставив четыре знака после запятой. В результате получается новое приближенное значение=1,2347. Абсолютные погрешностииравны соответственно:=0,000111 и=0,000133. Погрешность округленного приближенного значения величины оказалась больше погрешности ее неокругленного значения. Если округлим еще одну цифру, то получим еще одно приближенное значение=1,235, погрешность которого будет еще больше=0,000433. Чем больше знаковмы округляем, тем, как правило, больше абсолютная погрешность.

В некоторых частных случаях округление может приводить к уменьшению абсолютной погрешности. Пусть, например, =1,234 и=1,2342. Округлим приближенное значение на одну цифру и получим округленное приближенное значение=1,234, совпадающее с точным. Подобное повышение точности при округлении возможно, но возникает редко.

Рассмотрим вопрос об оценке погрешности округления. Пусть имеется числовая величина x,  точное значение, – некоторое приближенное значение этой величины, а результат округления этого приближенного значения. Назовем величину погрешностью округления и обозначим ее . Тогда погрешность округленного приближенного значения

.

Следовательно,

. (1.4.1)

Эта формула позволяет учитывать погрешности округления.

На практике часто возникает вопрос о том, как следует округлять приближенное значение, чтобы погрешность округленного приближенного значения была не на многобольше погрешности неокругленного приближенного значения величины. Для ответа на этого вопрос рассмотрим следующий пример.

Пример 1

Пусть точное значение величины =1,2345678, а приближенное =1,2345789.

Округлим приближенное значение четырьмя способами и получим четыре разных округленных приближенных значения: =1,234579,=1,23458,=1,2346,=1,235. Их погрешности равны соответственно 0,0000112; 0,0000122; 0,0000322; 0,0004322. Погрешность неокругленного приближенного значения величины равна 0,0000111. Сравнивая эти погрешности, можно заметить, что первые три способа округления не сильно увеличивают погрешность, а четвертый способ увеличил погрешность в 40 раз.

Подчеркнем в записи верные цифры в широком смысле слова:=1,2345789, и сопоставим полученные данные с верными цифрами в записи неокругленного приближенного значения. Оказывается, если при округлении сохранены все верные цифры, то погрешность растет не на много, а если округляется хотя бы одна верная цифра, то погрешность вырастает в десятки раз.

Результатом обобщения многих подобных примеров является правило, позволяющее округлять и записывать окончательные результаты вычислений или измерений. Будем считать, что известными являются приближенное значение и оценка погрешностивеличиныx.