1.7. Метод границ

Общий подход к вычислению границ

Если известны границы числовой величины, то можно по формуле (1.2.5) наилучшим образом вычислить ее приближенное значение и по формуле (1.2.6) получить его предельную абсолютную погрешность.

Пусть дана функция . Точные значения аргументови функциинеизвестны, но известны границы ее аргументов,. Найдем точные границы величиныu. По формуле (1.2.2) можно получить множества принадлежности точных значений аргументов

, . (1.7.1)

Точные значения аргументов должны этим отрезкам принадлежать. Составим из них прямое декартово произведение. Очевидно,и. Отсюда следует, что в качестве можно выбрать– множество значений функции , когда ее аргумент (точка ) принимает всевозможные значения из множества .

Тогда, согласно определению, (см. формулу (1.2.1)), можно получить точные границывеличиныu:

; (1.7.2)

; (1.7.3)

После вычисления границ величины u можно наилучшим образом вычислить по формуле

(1.7.4)

и найти его предельную абсолютную погрешность

. (1.7.5)

Наиболее сложным моментом в применении описанного подхода к вычислению приближенного значения функции и оценки его погрешности является вычисление точных границ по формулам (1.7.2), (1.7.3). Для преодоления этих трудностей можно использовать пооперационное вычисление границ величины u и обобщенный метод границ.

Пооперационное вычисление границ

Основные формулы метода границ. Процесс вычислений по заданной формуле представляется в виде цепочки отдельных элементарных операций: суммы, разности, произведения, частного и функции одного переменного. Зная границы результатов этих элементарных операций, можно получить искомые границы окончательного результата.

Получим границы результатов пяти описанных элементарных операций. Пусть имеются величины x, y и известны их границы ,,,. Введем величины,,,, . Здесь – заданная функция одной переменной.

Тогда будут справедливы формулы для определения границ результатов элементарных операций (суммы, разности, произведения, частного и функции одной переменной)

,;(1.7.6)

,; (1.7.7)

, ; (1.7.8)

,;(1.7.9)

;

.(1.7.10)

Если на отрезке функцияявляется непрерывной или монотонной, то будут существовать,и ими можно заменить точные грани:

,

. (1.7.11)

Если на отрезке функцияявляется монотонной, то минимум и максимум функции будут достигаться на концах отрезка. Поэтому вместо формул (1.7.11) можно использовать либо формулы

, , (1.7.12)

если функция неубывающая, либо формулы

, , (1.7.13)

если функция невозрастающая.

Формулы (1.7.8) справедливы только при и, а формулы (1.7.9)– при и .

Докажем формулы (1.7.6) – (1.7.10) . Согласно формуле (1.2.3),

, . (1.7.14)

Сложим почленно эти неравенства:

.

Отсюда следуют формулы (1.7.6).

Умножим на (-1) все части второго неравенства (1.7.14) и сложим его почленно с первым неравенством (1.7.14):

.

Отсюда следуют формулы (1.7.7).

Рассмотрим частный случай, когда и. Тогда в неравенствах (1.7.14) все члены неотрицательные и эти неравенства можно перемножить:

.

Отсюда следуют формулы (1.7.8).

Рассмотрим частный случай, когда и. Тогда в первом неравенстве (1.7.14) все члены будут неотрицательные, а во втором – положительные. Применим ко всем частям второго неравенства (1.7.14) функцию:

,

а теперь перемножим это неравенство с первым неравенством (1.7.14):

.

Отсюда следуют формулы (1.7.9).

Формулы (1.7.10) следуют из формул (1.7.2) и (1.7.3) при .

Пример 1

Пусть ,,,,,,. Применяя формулы (1.7.6) – (1.7.13), (1.7.4), (1.7.5), требуется найти,,,.

Для определения границ числителя и функции воспользуемся формулами (1.7.12) – (1.7.13). Так как функциявозрастает на отрезке, ее наименьшее значение достигается на левом конце этого отрезка, а наибольшее – на правом:,. Функциятакже является возрастающей, поэтому,. Далее находим границы знаменателя по формулам (1.7.6):,. Применяя формулы (1.7.9), получим,.

И наконец, применяя формулы (1.7.4), (1.7.5), окончательно получим ,. Запишем результат в соответствии с первым правилом верных знаков:.

Сравним полученные результаты с результатами примеров 1 из параграфов 1.5 и 1.6. Они существенно отличаются (прежние результаты: ). Исходя из вычисленных точных границинайдем предельную абсолютную погрешность приближенного значения:. Каким же результатам верить? Прежние результаты, полученные с помощью линейных оценок являются приближенными, а результаты, полученные методом границ – точные, если не учитывать погрешности округлений при вычислениях. Поэтому верить необходимо именно им. Сравнение показывает, что для рассмотренного примера линейные оценки занижают оценку погрешности в 2 раза. Это связано с тем, что погрешности аргументов оказались слишком велики и условия применимости линейных оценок не выполняются.

Особые случаи вычисления границ

Замена переменных. Если в формулу входят операции умножения или деления и выполняются условия применимости формул (1.7.8), (1.7.9), то можно вычислять границы результатаu с помощью формул (1.7.6) – (1.7.13). В тех же случаях, когда эти условия не выполняются, для вычисления границ произведения и частного можно использовать либо замены переменных, либо вычислять эти границы, пользуясь определением, по формулам (1.7.2) и (1.7.3). Рассмотрим применение замен переменных на конкретном примере.

П

Рис.1.3

ример 2

Пусть ,,,,. Требуется найти,.

Переменные x и u принимают отрицательные значения. Введем новые переменные ,, которые будут принимать положительные значения. Очевидно, причем все условия применимости формулы (1.7.8) для этого случая выполнены.

, (рис. 1.3). По формуле (1.7.8) находим:,. Далее аналогично вычисляем границы результата:,.

Вычисление границ произведения и частного. Способ замены переменных не годится, если нижняя и верхняя границы хотя бы одного из аргументов оказываются разных знаков. В этом случае можно вычислять границы произведения и частного непосредственно по формулам (1.7.2), (1.7.3).

Пример 3

Пусть ,,,,. Требуется найти,.

По формулам (1.7.2), (1.7.3)

,,

где ,,(рис. 1.4).

В

Рис. 1.4

еличинаy не обращается в 0, если точка . Поэтому функциянепрерывна на множествеЕ и достигает своих точных граней. Следовательно, существуют максимум и минимум функции на множествеЕ и ими можно заменить точные грани:

,.

Координатная ось разбивает множество Е на два прямоугольника и(рис. 1.7.2). Найдем минимум и максимум функциив каждом из них в отдельности. В прямоугольникевеличиныx и u неотрицательны, а величина y положительна. Поэтому дробь принимает наибольшее значение в точке, когда величинаx принимает наибольшее, а величина y – наименьшее возможное значение. Соответственно, наименьшее значение эта дробь принимает в точке . Таким образом,

, .

В прямоугольнике величиныx и u отрицательны, а величина y положительна. Поэтому положительная дробь будет принимать наибольшее значение в точке,когда величина принимает наибольшее, а величинаy – наименьшее возможное значение. Соответственно, наименьшее значение этадробь будет принимать в точке . Тогда отрицательная дробьпринимает наименьшее и наибольшее значения, соответственно, в точкахи. Таким образом,

, .

Объединяя оба рассмотренные случая, окончательно получим

, .

Обобщенный метод границ

Вычисление границ по формулам (1.7.2), (1.7.3) в общем случае представляет собой сложную задачу, но при оценке погрешностей длины отрезков (1.7.1) часто бывают малы. Учет этого обстоятельства во многих случаях позволяет значительно упростить вычисление границ.

Множество представляет собой n-мерный прямоугольник. Функцию назовеммонотонной по каждому из своих аргументов на множестве Е, если для любого аргумента и для любой точкифункция одной переменнойлибо не убывает, либо не возрастает на отрезке.

Будем считать, что условия монотонности функции по каждому аргументу на множествеЕ выполняются. Тогда функция будет иметь наименьшее и наибольшее значение на множествеЕ и они будут достигаться в вершинах множества Е. Координаты точки минимума , точки максимумафункции и границыu определяются по формулам

(1.7.15)

(1.7.16)

,

. (1.7.17)

Замечание. Условия монотонности функции по каждому из аргументов на множествеЕ выполняются во многих случаях, поскольку размеры прямоугольника Е, как правило, малы. Если же эти условия не выполняются на всем прямоугольнике Е, то часто его можно разбить на более мелкие прямоугольники, на которых условия монотонности будут выполняться.

Пример 4

Пусть ,,,,,,. Требуется найти,.

Множество

представляет собой трехмерный прямоугольник. Зададим произвольную точку .

Функция одной переменной

,

где . Эта функция, очевидно, возрастает на отрезке.

Функция одной переменной

,

где ,. Эта функция, очевидно, убывает на отрезке.

Функция одной переменной

,

где ,. Эта функция, очевидно, убывает на отрезке.

Таким образом, наша функция является монотонной по каждой из своих переменных и ее минимум и максимум достигаются в точках и, соответственно. Отсюда

, .

Сравните полученные результаты с результатами примера 1, этого параграфа.