1.9. Вероятные оценки погрешности числовой величины. Метод статистического усреднения

Основные понятия и определения

В метрологии для оценки погрешностей результатов измерений, используется аппарат теории вероятности и математической статистики. Это связано с тем, что в случае, когдазначение величины измеряется с помощью какого-либо прибора, результаты измерения практически всегда содержат ошибки, причем многие из этих ошибок носят случайный характер. Информация о точном значении измеряемой числовой величины x (содержащаяся в описании прибора) иногда не позволяет построить ограниченное множество принадлежности точного значения измеряемой величины, , или оно оказывается слишком широким. Если же множество принадлежностине ограничено, то при любом выборе приближенного значениямы не сможем получить конечной оценки его погрешности. Но может оказаться, что точное значение измеряемой величиных должно принадлежать некоторому ограниченному и достаточно узкому числовому множеству с некоторой, достаточно большой, вероятностью. На этот случай мы и обобщим описанную теорию погрешностей.

Пусть имеется некоторая числовая величина x с точным значением .О точном значении величины х имеется информация, которая для приемлемого значения позволяет построить такое ограниченное числовое множество , что вероятность принадлежности точного значения величиных этому множеству равна :

. (1.9.1)

Множество назовем доверительным множеством принадлежности точного значения величины x с вероятностью .

Оценкой абсолютной погрешности приближенного значения с вероятностью назовем любую из верхних границ функциипо доверительному множеству принадлежности.

Оценкой относительной погрешности приближенного значения с вероятностью назовем любую из верхних границ функциипо доверительному множеству принадлежности.

Вероятные оценки абсолютной (относительной) погрешности приближенного значения будем обозначать(). Очевидно, что абсолютная и относительная погрешностине превышают своих вероятных оценок с вероятностью:

, . (1.9.2)

Между множествами вероятных оценок абсолютной и относительной погрешности можно установить взаимно-однозначное соответствие:

. (1.9.3)

Наименьшую из оценок абсолютной (относительной) погрешности с вероятностью назовем предельной абсолютной (относительной) погрешностью с вероятностью .Предельная абсолютная (относительная) погрешность с вероятностью определяется следующим образом:

(1.9.4)

Верхней (нижней) границей x с вероятностью назовем любую из верхних (нижних) границ доверительного множества принадлежности.

Обозначать вероятные границы числовых величин будем символами ВГ (НГ), приписывая в качестве нижних индексов имя величины и доверительную вероятность. Так, верхняя (нижняя) граница величины x с вероятностью обозначается. Наилучшей из верхних (нижних) границx с вероятностью является наименьшая (наибольшая) из них. Будем эти границы называть точными. Таким образом, точная верхняя (нижняя) граница величины x с вероятностью определяется по формуле

. (1.9.5)

Очевидно, что

. (1.9.6)

Связь между значениями ис одной стороны и соответствующими значениями границис другой стороны устанавливается так же, как и раньше:

, . (1.9.7)

, . (1.9.8)

На вероятные оценки, очевидно, распространяются все описанные методы. Наиболее сложным является вопрос построения доверительного множества принадлежности точного значения.

Метод статистического усреднения

Чаще всего на практике результаты измерений обрабатываются с помощью метода статистического усреднения. Пусть значение некоторой детерминированной числовой величины x получают путем измерения, причем при повторении одного и того же измерения n раз получаются разные приближенные результаты (разные приближенные значения измеряемой величины). Погрешности, которые имеют эти приближенные значения (результаты измерений) могут иметь систематическую и случайную составляющую.

Систематическая составляющая погрешности измерения не меняется при повторениях измерения. Она всегда одинаково искажает точное значение величины . Поэтому при отсутствии случайной составляющей или при ее малости все значения результатов измеренийпрактически одинаковы.

Случайная составляющая погрешности измерения вносит случайные изменения в значение измеряемой величины при повторении измерения. Если значения значительно отличаются друг от друга, то это означает, что в погрешности результатов измерения присутствует значительная случайная составляющая. В этом случае результаты измеренийможно интерпретировать как значения некоторой случайной величины.

На практике измерений всегда стараются добиться, чтобы систематическая составляющая погрешности измерений отсутствовала. Это делается путем периодического тестирования измерительных приборов. Отсутствие систематической составляющей в погрешностиизмерений (при наличии случайной составляющей) выражается в том, что математическое ожидание этой случайной величины совпадает с точным значениемизмеряемой детерминированной величины x:

. (1.9.9)

Будем считать, что систематическая составляющая погрешности измерения отсутствует и выполняется равенства (1.9.9). В качестве итогового приближенного значения измеряемой величины выберем среднее значение результатов измерений

. (1.9.10)

Кроме того, вычислим выборочное среднеквадратическое отклонение (несмещенная оценка)

(1.9.11)

Из теории вероятностей известно, что математическое ожидание в рассматриваемом случае должно накрываться с вероятностьюдоверительным интервалом

,

где  известные коэффициенты Стьюдента (табл. 1.1).

Таблица 1.1

n	1	2	3	4	6	9	14	19	29
	6,31	2,92	2,35	2,13	1,94	1,83	1,76	1,73	1,70	1,64
	12,7	4,30	3,18	2,78	2,45	2,26	2,14	2,09	2,04	1,96

Отсюда следует, что вероятность того, что точное значение принадлежит этому доверительному интервалу, равна. Поэтому

. (1.9.12)

Таким образом, предельная абсолютная погрешность с вероятностьюравна

. (1.9.13)

Если систематическая составляющая погрешности измерения присутствует и , но известна ее оценкатакая, что, то вместо оценки (1.9.13) будем иметь

. (1.9.14)