1.8. Правила верных знаков

Второе, третье и четвертое правила верных знаков представляют собой правила округления промежуточных и окончательного результатов при вычислении приближенных значений величин. Второе и третье правило формулируются таким образом, чтобы погрешность округления вычисляемого приближенного значения результата не на много превышали погрешности неокругленного приближенного значения. При этом известные верные цифры у результата не теряются. Эти правила используются при ручных вычислениях, когда необходимо быстро получить значение результата, не оценивая его погрешности.

Второе правило верных знаков. Пусть дана формула , причем правая часть формулы представляет собой алгебраическую сумму своих аргументов.

Известные приближенные значения аргументов записаны со всеми верными знаками в широком смысле слова. Требуется вычислить приближенное значение.

Вычисление производится по следующему правилу. Определяется m – наименьшее число цифр после десятичной запятой в записи аргументов. Округляются аргументы так, чтобы в их записи после запятой оставалось не более (m+1)-й цифры. Производится вычисление приближенного значения величины u с округленными значениями аргументов :.

Если этот результат является промежуточным, то его оставляют, как есть, а если результат окончательный, то он округляется до m цифр после запятой.

Использование этого правила позволяет не терять известных верных цифр у результата, несмотря на наличие округлений, если . Убедимся в этом.

Погрешности приближенных значений всех аргументов не превышают , поскольку они записаны со всеми верными знаками, а их наименьшее количество равноm. Поэтому

при.

Следовательно, в записи имеется по крайней мере, (m-1) верная цифра после десятичной запятой. Это известные верные цифры. Помимо них могут быть и другие, поскольку мы судим о них не по погрешностям аргументов, а по их оценкам. Погрешности округления приближенных значений всех аргументов не превышают , так как они округляются до (m+1)-й цифры после десятичной запятой. Оценки погрешностей округленных приближенных значений аргументов, согласно формуле (1.4.1), равны . Отсюда

при .

Таким образом, если мы пользуемся вторым правилом верных знаков при , то за счет округления аргументов абсолютная погрешность результата может увеличиться не более, чем на 10 %. При этом все известные верные цифры после запятой у результата сохранятся.

Пример 1

Вычислим, пользуясь вторым правилом верных знаков, значение алгебраической суммы: . Приближенные значения аргументов;;записаны со всеми верными знаками.

В данном случае . Округляем первые два аргумента до трех цифр после запятой и производим вычисление:. Если этот результат окончательный, то его округляют до двух цифр после запятой.

А теперь вычислим значение этой алгебраической суммы без округлений и подчеркнем известные верные знаки: 2,2211133. Все они сохранились.

Третье правило верных знаков. Пусть дана формула , причем правая часть формулы представляет собой последовательность аргументов, соединенных между собой одной из двух арифметических операций: умножением или делением, например.

Известные приближенные значения аргументов записаны со всеми верными знаками в широком смысле слова. Требуется вычислить.

Вычисление производится по следующему правилу. Определяется k – наименьшее количество верных значащих цифр в записи аргументов. Аргументы округляются так, чтобы в их записи оставалось не более (k+1)-й значащей цифры. Производится вычисление приближенного значения величины u с округленными значениями аргументов :. Если вычисляемый результат является окончательным, то в его записи оставляют ровно k значащих цифр, а если  промежуточным, то  (k+1) значащих цифр.

Аналогично тому, как это сделано для второго правила, можно показать, что если мы пользуемся третьим правилом верных знаков при , то за счет округления аргументов относительная погрешность результата увеличится не более, чем на 10 % и все известные верные знаки сохранятся.

Пример 2

Вычислим, пользуясь третьим правилом верных знаков, значение следующей величины . Приближенные значения аргументов;;записаны со всеми верными знаками.

В данном случае . Округляем последние два аргумента до трех значащих цифр и производим вычисление:Если этот результат промежуточный, его округляют до трех значащих цифр:, а если он окончательный, его округляют до двух значащих цифр:.

А теперь вычислим значение этой алгебраической суммы без округлений и подчеркнем известный верный знак у результата 2,07011383556…. Этот знак сохранился.

Четвертое правило верных знаков. Пусть и приближенное значение аргументазаписано со всеми верными знаками. Вычисляется.

Если результат окончательный, то после вычисления должно округляться так, чтобы в его записи оставалось столько значащих цифр, сколько их и в записи аргумента. Если результат промежуточный, то оставляют на один знак больше.

Пример 3

Вычислим, пользуясь четвертым правилом верных знаков, значение величины: . Приближенное значения аргументазаписано со всеми верными знаками.

В данном случае . Вычислим. Если результат промежуточный, то округлим его до четырех значащих цифр. А если результат окончательный, то округлим его до трех значащих цифр:.

Четвертое правило грубое, оно не обеспечивает сохранение известных верных знаков и может противоречить первому правилу. Пользоваться им можно только при черновых прикидочных вычислениях.