Первое правило верных знаков. Используются две формы записи окончательного приближенного результата. Первая форма записи окончательного результата

. (1.4.2)

Здесь – результат округления. Округление симметричное и производится таким образом, чтобы сохранялись только те разряды, в которых стоят верные цифры в записи.

Вторая форма записи окончательного результата

. (1.4.3)

Здесь – результат округлениядо двухзначащих цифр. Это округление не симметричное. Оно всегда производится в сторону увеличения (в последнем оставляемом разряде всегда прибавляется единица);  результат округления . Округление симметричное. При нем сохраняются те же разряды, что и в записи.

Пример 2

Пусть =1,2345667,=0,000781. Запишем окончательный результат в соответствии с первым правилом верных знаков. Для этого, подчеркнем верные знаки в широком смысле слова в записи приближенного значения:=1,2345667. Теперь можно записать результат в первой форме: .

Округлим оценку погрешности до двух значащих цифр в сторону увеличения: . Округлим симметрично приближенное значениеи запишем результат во второй форме:x =1,234570,00079.

Замечание. Приближенные значения округляются симметричным способом, а оценки погрешности всегда округляются только в сторону увеличения. Это связано с тем, что увеличив за счет округления оценку погрешности, мы всё равно получим оценку погрешности, только большую. А уменьшив оценку погрешности за счет округления мы можем оценку погрешности не получить.

1.5. Линейные оценки погрешности суммы, разности, произведения, частного и функции одной переменной

Процесс вычислений по заданной формуле представляется в виде цепочки отдельных элементарных операций: суммы, разности, произведения, частного или функции одного переменного. Зная оценки погрешностей результатов этих элементарных операций, можно получить оценку погрешности результата вычисления по любой формуле. На этом основан метод оценки погрешности, рассматриваемый в этом параграфе.

Получим оценки погрешности результатов пяти описанных элементарных операций. Пусть имеются величины x, y и известны приближенные значения и и оценки погрешностейи. Введем величины,,,, . Здесь – заданная функция одной переменной.

Точные значения ивеличинx и y неизвестны, поэтому точные значения введенных величин ,,,, также неизвестны. В качестве приближенных значений введенных величин выберем ,,,, . Тогда будут справедливы линейные оценки погрешностей приближенных значений суммы, разности, произведения, частного и функции одной переменной

, (1.5.1)

, (1.5.2)

, (1.5.3)

, (1.5.4)

где ,,

, (1.5.5)

, (1.5.6)

. (1.5.7)

Оценки (1.5.5) и (1.5.6) можно применять при , .

Оценка (1.5.7) применяется при выполнении условий

1. Функция f(x) должна быть дифференцируема на отрезке .

2. Производная мало меняется на отрезкеи.

Докажем оценки (1.5.1) – (1.5.7).

Рассмотрим абсолютную погрешность приближенного значения _.:

.

Таким образом, абсолютная погрешность не превышает . Первая оценка доказана.

.

Вторая оценка доказана. Оценки погрешности для суммы и разности являются точными.

Пусть ,– ненулевые числа одного знака. Докажем оценки относительной погрешности суммы и разности приближений этих чисели.

Используя формулы (1.5.1), (1.5.2), получаем

.

Из полученного неравенства получаем

, .

Первое из неравенств означает, что при суммировании чисел одного знака не происходит потери точности, если оценивать в относительных единицах.

При вычитании чисел одного знака, граница относительной ошибки возрастает в раз и возможна существенная потеря точности.

Если числа иблизки настолько, что, тои не исключена полная или почти полная потеря точности. Когда это происходит, то говорят о том, что произошла катастрофическая потеря точности, то есть при построении численного метода решения задач следует избегать вычитания близких чисел одного знака. Если же такое вычитание неизбежно, то следует вычислять аргументы с повышенной точностью, учитывая ее потерю примерно в раз.

Рассмотрим абсолютную погрешность приближенного значения :

=

.

Тогда для относительной погрешности получим оценку

.

Отсюда получается точная оценка относительной погрешности . Еслии, то произведениебудет много меньше каждой из оценокии им можно пренебречь. В результате получается доказываемая приближенная оценка (1.5.3). Оценка (1.5.4) доказывается аналогично.

Рассмотрим абсолютную погрешность функции

.

Под знаком модуля записано приращение функции в точке, соответствующее приращению аргумента, равному. Это приращение можно приближенно заменить дифференциалом функции в точке:

.

Это можно сделать, так как функция f(x) дифференцируема на отрезке и . Погрешность такой замены будет достаточно маленькой, поскольку производная мало меняется на отрезке. В результате замены получим искомую приближенную линейную оценку погрешности(1.5.5)

.

Пример 1

Пусть

.

Применяя формулы (1.5.1) – (1.5.5) и (1.1.6), требуется найти .

В качестве приближенных значений промежуточных и окончательного результатов выбираются значения соответствующих выражений при приближенных значениях аргументов. Поэтому 0,4056941504. Согласно формуле (1.5.5), получим0,4743416490. По формуле (1.5.1), получим

0,4743416490=0,9743416490.

По формулам (1.1.6) будем иметь 0,4;.

По формуле (1.5.3) получим

0,4+0,3162277660=0,7162277660.

По формулам (1.1.6) будем иметь 0,2905694150.

Запишем результат в соответствии с первым правилом верных знаков .

Пример 2

Вычислим корни квадратного уравнения :

;

.

Будем считать, что .

Так как при вычислении корня выполняется приближенное вычитание чисел, близких по абсолютной величине, то в соответствии с формулой 1.5.4 возможна потеря точности враз:

.

Корень можно вычислить, избежав вычисления разности близких по модулю чисел:

.

При втором вычислении можно гарантировать большую точность результата.

1.6. Предельная абсолютная погрешность и линейная оценка абсолютной погрешности приближенного значения функции нескольких переменных

Предельная абсолютная погрешность приближенного значения функции одной переменной

Прежде чем рассматривать предельную абсолютную погрешность приближенного значения функции нескольких переменных, рассмотрим абсолютную погрешность приближенного значения функции одной переменной.

Пусть имеется функция одной переменной и точное значение аргумента не известно. Тогда неизвестным будет и точное значение функции . Будем считать, что известно приближенное значение функциии множество принадлежности точного значения аргумента.

Предельная абсолютная погрешность приближенного значения функции согласно определению равна

. (1.6.1)

Здесь – множество принадлежности точного значения функции.В качестве можно выбрать множество– множество значений функции , когда аргумент принимает всевозможные значения из множества . В самом деле, так как, значениедолжно принадлежать множеству .

Сделаем в формуле (1.6.1) замену переменных , то есть перейдем от переменной y к переменной x. При этом, модуль заменим на. Отношениепри с учетом того, что , будет эквивалентно отношению. А последнее отношение, очевидно, будет эквивалентно отношению.

После замены переменной равенство (1.6.1) примет вид

. (1.6.2)

Замечания: 1. Если известными являются и, то .

2. Если существует , то точную грань можно заменить максимумом(1.6.3)

Предельная и абсолютная погрешность приближенного значения функции многих переменных

Распространим формулы (1.6.2), (1.6.3) на случай функции многих переменных. Пусть дана функция . Точные значения аргументови функциинеизвестны, но известно некоторое приближенное значение функциии множества принадлежности точных значений аргументов. Таким образом,. Предельная абсолютная погрешность приближенного значениясогласно определению равна

, (1.6.4)

где – множество принадлежности точного значения функции и.

Введем множество , которое представляет собой прямое декартово произведение множеств принадлежности точных значений аргументов. Очевидно,и.

Отсюда следует, что в качестве можно выбрать множество– множество значений функции, когда ее аргумент (точка) принимает всевозможные значения из множества.

Сделаем в формуле (1.6.4) замену переменных , то есть перейдем от переменнойu к переменным . При этом модульзаменим на модуль. Отношениепри, и с учетом того, что, эквивалентно отношению. А последнее отношение, очевидно, будет эквивалентно отношению.

После замены переменной равенство (1.6.4) примет вид

(1.6.5)

Замечания: 1. Пусть известными являются приближенные значения аргументов и оценки их абсолютных погрешностей,.

Тогда ,.

2. Если существует , то точную грань можно заменить максимумом

. (1.6.6)

Линейная оценка абсолютной погрешности приближенного значения функции многих переменных

Определение предельной абсолютной погрешности приближенного значения функции по формулам (1.6.4), (1.6.5) или (1.6.6) зачастую представляет собой довольно сложную математическую задачу. Поэтому на практике чаще используют приближенную линейную оценку более простую в применении. Получим ее.

Пусть дана функция . Точные значения аргументови функциинеизвестны, но известны приближенные значения аргументови оценки их абсолютных погрешностей . В качестве приближенного значения функции выбрано.

Тогда, для выбранного таким образом приближенного значения , будет справедлива следующаялинейная оценка погрешности:

. (1.6.7)

Оценка (1.6.7) является приближенной и применяется при выполнении следующих условий:

1. Функция должна быть дифференцируема на множестве .

2. Частные производные этой функции мало меняются на множестве , и хотя бы одна из частных производных в точкедолжна быть отлична от нуля.

Докажем оценку (1.6.7). Для этого рассмотрим абсолютную погрешность приближенного значения функции :

.

Под знаком модуля записано приращение функции в точке, соответствующее приращениям аргументов. Это приращение можно приближенно заменить дифференциалом функции в точке

_.

Это можно сделать, так как функция дифференцируема на множествеи хотя бы одна из ее частных производных в точкедолжна быть отлична от нуля. Погрешность такой замены будет достаточно маленькой, поскольку частные производные функции мало меняются на множестве . В результате описанной замены приращения функции дифференциалом получим искомую приближенную линейную оценку погрешности (1.6.7)

.

Что и требовалось доказать.

Пример

Пусть.

Применяя формулу (1.6.7), требуется найти .

В качестве приближенного значения окончательного результата выбирается значение соответствующего выражения при приближенных значениях аргументов

0,4056941504. Согласно формуле (1.6.7), получим

.

Запишем результат в соответствии с первым правилом верных знаков: .

Сравнение результатов этого примера с результатами примера 1 из параграфа 1.5 показывает, что они оказались очень близки и это не случайно. Дело в том, что все линейные оценки погрешности из параграфа 1.5 можно получить исходя из оценки (1.6.7).