1.2. Границы числовых величин

Наряду с понятиями абсолютной, относительной погрешности и их оценок, в теории погрешности используются и другие понятия, позволяющие оценивать качество приближенных значений числовых величин. Это границы величин. Рассмотрим их.

Пусть имеется числовая величина x, точное значение которой неизвестно, но имеется некоторая информация о нем, позволяющая определить ограниченное множество принадлежноститочного значения величиныx (). Множество, как и всякое ограниченное множество имеет границы: верхние и нижние.

Верхней (нижней) границей величины x называется любая из верхних (нижних) границ множества . Обозначение:– любая нижняя граница величиныx, – любая верхняя граница величиныx.

Наименьшую из верхних границ назовем точной верхней границей величины x, а наибольшую из нижних границ назовем точной нижней границей величины x. Таким образом, точные границы величины x представляют собой

, . (1.2.1)

Какие бы границы величины x ни выбирались (точные или не точные), для них должно быть справедливо отношение

, (1.2.2)

откуда следует, что

. (1.2.3)

Понятие границы величины x тесно связано с понятиями приближенного значения и оценки его погрешности . Зная, всегда можно найтии. А знаяи, можно выбратьи найти для него. Рассмотрим как это делается.

Пусть известны приближенное значение величиныx и оценка его погрешности . Найдем границы этой величины. Решив неравенство (1.1.2) относительнополучим

или .

Мы использовали всю имеющуюся информацию о точном значении величины, поэтому

.

Отсюда получим точные границы величины x

(1.2.4)

Рассмотрим теперь обратную задачу. Пусть известны границы величины x: ,. Выберем приближенное значение величинытакое, чтобы предельная абсолютная погрешность его была наименьшей из возможных. Никакой информации о точном значении величиныx, кроме значений иу нас нет. Поэтому из отношения (1.2.2) следует, что. Далее, согласно результатам примера 1 из параграфа 1.1, приближенное значение величиныследует выбрать совпадающим с серединой отрезка:

. (1.2.5)

Тогда его предельная абсолютная погрешность будет самой маленькой и равной

. (1.2.6)

Формулы (1.2.5), (1.2.6) могут быть формально получены, если решить систему (1.2.4) относительно переменных и.

Рассмотрим теперь обратную задачу. Пусть известны границы величины x: ,. Выберем приближенное значение величинытакое, чтобы предельная абсолютная погрешность его была наименьшей из возможных значений. Никакой информации о точном значении величиныx, кроме значений и, у нас нет. Поэтому из отношения (1.2.2) следует, что. Далее, согласно результатам примера из параграфа 1.1, приближенное значение величиныследует выбрать совпадающим с серединой отрезка:

. (1.2.7)

Тогда его предельная абсолютная погрешность будет самой маленькой и равной

. (1.2.8)

Формулы (1.2.7), (1.2.8) могут быть формально получены, если решить систему (1.2.4) относительно переменных и.