1.16. Полная погрешность и ее компоненты

Погрешность округлений, очевидно, растет с ростом количества вычислительных операций, необходимых для вычисления окончательного результата . Особенно сильно она растет в тех случаях, когда в процессе вычисления встречаются операции, ведущие к быстрой потере точности. Пусть имеется некоторая корректно поставленная прикладная математическая задачаи для ее решения используется итерационный численный метод, основанный на использовании последовательности приближений, сходящейся кпривZ.

В качестве приближенного решения прикладной математической задачи выбирается один из членов этой последовательности с достаточно большим номером–, для которого погрешность численного методанас устраивает. Будем обозначать приближенное значение, вычисленное на компьютере, как. К сожалению, чаще всегос ростом растет и количество операций, необходимых для вычисленияи, следовательно, растет и погрешность округлений при вычислениях на ЭВМ. В то же время, погрешность численного метода с ростом стремиться к нулю. Погрешность прикладной задачи не зависит от . На рис. 1.5 схематично показаны графики трех основных составляющих полной погрешности численных результатов_z(z_e,z_c)=_z(z_e,z_kc) как функции . Согласно (1.12.1) полная погрешность численных результатов не превышает суммы оценок погрешностей прикладной задачи (математической модели), численного метода и округлений

_z(z_e,z_kc)  _z(z_e,z_ap) + _z(z_ap,z_k) + _z(z_k,z_kc). (1.15.19)

На практике обычно удается получить оценку погрешности численного метода, очень редко удается оценить вычислительную погрешность округлений и практически никогда не удается получить оценку погрешности прикладной задачи. Поэтому чаще всего мы имеем оценку только для одного компонента погрешности, поэтому и для полной погрешности численных результатов мы в лучшем случае имеем грубую вероятную оценку. Из рис 1.5 видно, что полная погрешность вначале убывает с ростом , доходит до некоторого минимального значения, а затем начинает расти. Наименьшее значение полная погрешность принимает при некотором оптимальном значении. Получить численные результатыс полной погрешностью, меньшейневозможно. Для того чтобы получить значение, необходимо знать оценки погрешности численного метода и округлений. Значениерасполагается примерно там, где эти оценки становятся равными. Но зачастую оценку погрешности округлений получить не удается. В этом случае можно приближенно определить значениепо стабилизации разрядов численных результатов, полученных с помощью к

Рис. 1.5

омпьютера.

Численные результаты потому так называются, что они представляют собой числа – приближенные значения числовых величин. Для того чтобы приближенные значения числовой величины в своей записи имели верных значащих цифр необходимо, чтобы относительная погрешность его была порядка. В табл. 1.2 приведены значения числовой величины одного из приближенных численных результатов прикладной задачи из набора при разных значенияхk. Подобные таблицы обычно получаются для всех численных результатов из набора . Вначале с ростомотносительная погрешность значений уменьшается, а количество верных знаков в их записи растет. Содержимое разрядов, в которых находятся верные цифры, с ростомот 1 доне изменяется. В этих разрядах должны находиться верные цифры, независящие от. Это значит, что разряды в записи табличных значенийстабилизируются. Просматривая приближенные значения величины, можно заметить, что, начиная со второй строчки табл. 1.2, стабилизируется содержимое первого разряда – 4, начиная с 6 строчки, стабилизируется содержимое второго разряда – 0, начиная с 10-й строчки, стабилизируется содержимое третьего разряда – 0, начиная с 13-го разряда стабилизируется содержимое четвертого разряда – 0. Но когда значение k становится больше , процесс стабилизации превращается в обратный процессразболтки. Разболтка численных результатов – обычное явление, поэтому необходимо ее всегда иметь в виду. Мы не замечаем разболтки только в тех случаях, когда, увеличивая значение , не доходим до.

Таблица 1.2

	Значения величины		Значения величины		Значения величины
1	5,12468	9	4,0115	17	4,03215
2	4,63246	10	4,00589	18	3,98083
3	4,35566	11	4,00393	19	4,08397
4	4,20002	12	4,00374	20	3,84491
5	4,11246	13	4,00005	21	3,97075
6	4,06329	14	4,00047	22	4,41104
7	4,03554	15	4,0003	23	4,22531
8	4,02016	16	3,98691	24	5,74599

По табл. 1.2 можно даже определить приближенное значение величины и грубо оценить его погрешность. Приближенному значению соответствует наиболее точное приближенное значение величины 4,0003. Оно предположительно имеет наименьшую погрешность. Если предположить также, что разряды, которые стабилизировались, содержат верные знаки, то можно утверждать, что погрешность этого приближенного значения величины не превышает 0,001. Таким образом, наша величина имеет значение. Но при этом необходимо помнить, что здесь не учтена погрешность прикладной задачи_z(z_e,z_ap), которая от k не зависит.

Для получения численного результата z_kc с заданной точностью часто поступают следующим образом. Задают некоторый допустимый уровень погрешности , предположительно намного превышающий погрешность прикладной математической задачи _z(z_e,z_ap). С помощью оценки погрешности численных методов, сначала подбирают значение , при котором погрешность численного методане будет превышать.Если разболтка наступает при значении k, большем , то численные результаты при скорее всего будут иметь полную погрешность_z(z_e,z_kc) порядка . В самом деле, погрешность метода_z(z_ap,z_k) не превышает , а при, погрешность округления_z(z_k,z_kc) должна быть меньше погрешности метода _z(z_ap,z_k) (рис. 1.5). А поскольку погрешность прикладной задачи _z(z_e,z_ap) предположительно много меньше погрешности метода _z(z_ap,z_k) , полная погрешность будет порядка .

Если же разболтка наступает при , то заданная точность численных результатовоказывается недостижимой.

Бывает и так, что время счёта численного результата при оказывается слишком большим. В таких случаях меняют численный метод, реализацию метода или даже переформулируют прикладную задачу. Если и это не помогает, то решение задачи приходится откладывать до лучших времён, когда появится возможность посчитать результаты на более быстродействующих компьютерах, позволяющих проводить вычисления с использованием более широкой разрядной сетки. Расширение разрядной сетки уменьшает погрешность округлений и оттягивает наступление разболтки.

Наши рассуждения базировались на предположении о малости погрешности прикладной задачи (математической модели). Но на самом деле мы, обычно, не знаем этого. Поэтому чтобы убедиться в том, что получаемые численные результаты из набора z_kc действительно имеют предполагаемую точность, проводят выборочные сравнения их с результатами натурных экспериментов или другими надежными результатами. Такое сравнение называется тестированием. Тестирование компьютерных программ, в которых реализовано решение прикладной задачи (компьютерной модели) является обязательным этапом решения этой задачи на ЭВМ. Чем больше таких сравнений (тестов) выполнено, тем более надежными являются получаемые численные результаты z_kc.