Понятие плохой обусловленности прикладной задачи

Даже корректной постановки прикладной математической задачи иногда бывает недостаточно для ее успешного решения численными методами. Пусть имеется исходная прикладная математическая задача с единственным решением для любогои пусть существуеттакое, что для любыхвыполняется неравенство

. ( 1.14.5)

Здесь и– решение прикладной математической задачи прии, соответственно. Выполнение этого условия, очевидно, влечет выполнение условий устойчивости и корректности нашей задачи при любом значении постоянной величиныC. Поскольку условие (1.14.5) проверить легче, чем условие устойчивости, им часто заменяют условие устойчивости. Влияние постоянной C на сходимость последовательности и функциикочевидно. Чем меньше значениеС, тем быстрее сходимость и наоборот. Если значение С достаточно велико, то сходимость может становиться настолько медленной, что получить результат с заданной точностью на практике оказывается невозможно. Слишком много времени и вычислений потребуется для получения приближенного решения с заданной точностью. В таких случаях говорят, что прикладная математическая задача является слабо устойчивой или плохо обусловленной. Значение постоянной С при котором любую прикладную математическую задачу следует считать плохо обусловленной указать невозможно. Время расчетов на компьютере существенно зависит от вида компьютера и используемого программного обеспечения. Иными словами, строго определения понятия плохой обусловленности пока нет. Попытки ввести меру обусловленности увенчались успехом только для решения задачи невыраженной системы линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. О плохой обусловленности задачи обычно говорят, когда необходимую точность численных результатов достичь никак не удается. Но в этом может быть виновата не только прикладная математическая задача, но и численный метод ее решения и его реализация на компьютере.

Пример

Рассмотрим задачу вычисления наименьшего корня уравнения

.

Уравнение решается относительно вещественной величины z, а u – заданная вещественная величина (u – исходное данное, z – результат). Выберем ,и введем на этих множествах метрики

, . (1.14.6)

Требуется установить, является ли сформулированная задача корректно поставленной и исследовать ее обусловленность.

Наименьший корень квадратного уравнения находится элементарно:

. (1.14.7)

Поэтому существование и единственность решения задачи сомнений не вызывает. Устойчивость следует из того, что функция является непрерывной на множестве. Таким образом, сформулированная задача корректно поставлена. Для исследования обусловленности задачи зададим произвольныеииз множестваи рассмотрим

.

Так как функция является дифференцируемой на множестве, для нее выполняются все условия теоремы Лагранжа на отрезке с концами в точкахи, согласно которой на этом отрезке найдется точкатакая, что

.

Подставим это выражение в предыдущую формулу и с учетом того, что , получим

.

Сравним полученную формулу с формулой (1.14.5). Наша задача будет хорошо обусловлена, если функция будет ограничена на множествеи верхняя граница ее будет не велика. Но. Поэтому наша задача является плохо обусловленной.

Функция имеет большие значения только в окрестности точкии можно ожидать быстрого нарастания погрешности результатаz, когда значение аргумента u становится близким к 1. Это нарастание действительно наблюдается. Если вместо точного значения аргумента мы используем приближенное значение, отличающееся от точного на очень маленькую величину, то при вычислении результата вместо точного значениямы получим приближенное значение, отличающееся от него на гораздо большую величину – 0,000015. Из 11 верных знаков, которые имел аргумент, у результата сохранились только 4. Относительная погрешность результата выросла по сравнению с относительной погрешностью аргумента в миллион раз.

С другой стороны, если отступить от точки вправо всего на 0,1, то значения функциибыстро уменьшатся и

при . Поэтому если сузить множество допустимых значений исходных данныхU до , то наша задача сразу станет хорошо обусловленной.