1.14. Корректность и численные методы. Плохая обусловленность прикладных задач Общая схема построения приближенных численных методов решения прикладных задач

Большинство численных методов позволяет получить приближенное решение прикладной задачи, причем для подбора его используются предельные переходы. Приближённое решение прикладной задачи ищется либо в множестве членов некоторой последовательности , либо в множестве значений некоторой функции. Здесьи– параметры, принимающие соответственно натуральные и вещественные положительные значения.

Ранее вводилось обозначение – точное решение прикладной математической задачи, соответствующей набору исходных данных. Последовательностьподбирается так, чтобы

в множестве , (1.14.1)

а функция строится так, чтобы

в множестве . (1.14.2)

Равенство (1.14.1) эквивалентно утверждению: для любого найдется номерN такой, что для всех номеров n, больших N, выполняется неравенство .

Равенство (1.14.2) эквивалентно утверждению: для любого найдетсятакое, что для всехh, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство.

Из приведенных утверждений (определений пределов) следует, что для любого найдутся значенияитакие, чтои, соответственно,. Это означает, что если в качестве приближенных решений прикладной задачи выбираютсяили, то они будут иметь абсолютные погрешностии, не превышающие. Кстати, последовательность {} в этом случае будет являться последовательностью приближений (см. принцип последовательных приближений). Если последовательность {} или функцияпостроены, то для получения приближенного решения задачи с погрешностью, не превышающей заданного положительного числа, достаточно по заданному значениюнайти соответствующие значенияилитакие, чтобыилии вычислитьили.

Существует универсальный способ построения последовательностей {} и функций, удовлетворяющих требованиям (1.14.1), (1.14.2). Это делается в два этапа. Вначале вводится некоторая последовательность {} и функциятакие, чтобы прикладная математическая задача легко решалась (желательно аналитически) приии выполнялись требования

в U, (1.14.3)

в U, (1.14.4)

Равенство (1.14.3) эквивалентно утверждению: для любого найдется номерN такой, что для всех номеров n, больших N, выполняется неравенство .

Равенство (1.14.4) эквивалентно утверждению для любого найдетсятакое, что для всехh, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство.

После этого в качестве выбирают решение прикладной математической задачи при, а в качестве– решение прикладной математической задачи при. Если для любого допустимого набора исходных данныхприкладная задача имеет единственное решение, то.

Использование последовательности и функциидля получения приближенного решения задачи с заданной точностью предполагает выполнение условий (1.14.1), (1.14.2). А их выполнение или невыполнение зависит от постановки прикладной задачи.

Связь между постановкой прикладной задачи и эффективностью численных методов ее решения

Корректно поставленные прикладные математические задачи обычно проще решаются приближёнными численными методами.

Теорема. Если прикладная математическая задача является корректно поставленной на паре пространств (U,Z), то для последовательности и функциибудут выполнены условия (1.14.1) и (1.14.2).

Доказательство. Зададим произвольное 0. Для него, согласно условию устойчивости прикладной математической задачи, найдется соответствующее значение . Положим. Согласно (1.14.3), для выбранного значения найдется номер такой, что для любого номеравыполняется неравенство. Тогда, согласно условию устойчивости прикладной математической задачи, должно быть выполнено неравенство. Утверждение (1.14.1) доказано.

Зададим произвольное 0. Для него, согласно условию устойчивости прикладной математической задачи, найдется соответствующее значение . Положим. Согласно формуле (1.14.4), для выбранного значения найдется 0 такое, что для значения h, удовлетворяющего неравенству 0<h, выполняется неравенство . Согласно условию устойчивости, следует, что. Утверждение (1.14.2) доказано. Теорема доказана.

Замечания: 1. Построение последовательности и функцииосновано на построении последовательностии функции. А для их построения используются известные способы аппроксимации (приближения) функций, такие как интерполяция, среднеквадратические или равномерные приближения. Погрешности этих приближений оцениваются, как правило, для простых естественных метрик. Именно эти оценки позволяют получить условия сходимостиик. Использовать же для этих целей метрику (1.13.10) практически невозможно, поскольку для ее вычисления необходимо знать точное решение прикладной задачи.

2. Из доказанной теоремы следует, что если прикладная математическая задача является корректно поставленной, то с помощью приближенных числовых методов, построенных описанным способом, можно получить приближенное решение прикладной математической задачи с любой точностью. В этом случае погрешность численного метода илиможно сделать сколь угодно маленькой приили.

3. Если прикладная математическая задача не является корректно поставленной или хотя бы устойчивой, то сходимость икне гарантируется. Корректная постановка прикладной математической задачи, таким образом, является важным условием успешности применения приближенных численных методов к ее решению.