Полные метрические пространства. Неподвижные точки. Принцип сжимающих отображений

Строить последовательности приближений можно разными способами, каждый из которых порождает некоторый итерационный метод решения задачи. Но существует единый подход, позволяющий строить последовательности приближений для решения широкого класса задач. Он основан на принципе сжимающих отображений. Теорема о сжимающем отображении позволяет построить последовательность приближений и доказать существование и единственность точного решения задачи, а также осуществить выбор натурального номера N, обеспечивающего заданный уровень погрешности для приближенного решения.

Последовательность элементов метрического пространстваназываетсяфундаментальной, если для любого положительного числа найдется номерN такой, что для любых номеров m и n, больших или равных N, выполняется неравенство .

Метрическое пространство называетсяполным, если любая фундаментальная последовательность элементов в нем сходится к некоторому элементу этого пространства.

Пусть имеется метрическое пространство и отображение. ОтображениеF называется сжимающим, если существует число такое, что для любыхвыполняется неравенство. При этом числоназываетсякоэффициентом сжатия отображения F.

Выполнение последнего неравенства означает, что если отображение является сжимающим, то расстояние между образами элементов x и y () должно быть меньше расстояния между самими элементами (). Поэтому любое множество элементов метрического пространства после применения к нему подобного отображения должно сжиматься.

Пусть имеется отображение (функция, оператор) . Точканазываетсянеподвижной точкой отображения F, если выполняется равенство .

Неподвижные точки отображения F являются решениями уравнения . ОтображениеF ставит в соответствие элементунекоторый другой элемент. Оно как бы сдвигает точкуx в точку y. А если подействовать этим отображением на неподвижную точку , то она останется неподвижной:. Отсюда и название неподвижных точек.

Теорема (принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение в полном метрическом пространстве имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка является пределом последовательности элементов метрического пространства, члены которой определяются по рекуррентной формуле

(1.11.2)

при любом начальном приближении . Кроме того, для любогоk, справедливо неравенство

. (1.11.3)

Здесь  коэффициент сжатия отображения F.

Доказательство этой теоремы можно найти в учебниках по теории функций и функциональному анализу. Применим ее к решению уравнения в метрическом пространстве. Решения этого уравнения представляют собой неподвижные точки отображенияF. При выполнении условий теоремы уравнение имеет единственное точное решение(неподвижную точку отображенияF). Последовательность , получаемая по рекуррентной формуле (1.11.2) при любомначальном приближении представляет собой последовательность приближений.

Для подбора значения номера N можно использовать условие (1.11.3). Вычислим члены последовательности один за другим, каждый раз проверяя условие

. (1.11.4)

Рано или поздно оно будет выполнено, поскольку при. Значениеk, при котором выполнилось условие (1.11.4), обозначим N. Это и есть искомый номер. В самом деле, из формулы (1.11.3) следует, что и можно выбрать в качестве приближенного решения уравнения с погрешностью, не превышающей .

Принцип сжимающих отображений является источником многих итерационных методов, некоторые из них мы рассмотрим далее.