1.11. Метод последовательных приближений

Пределы и непрерывность в метрических пространствах

В метрических нормированных и евклидовых пространствах вводятся понятия предела и непрерывности. Напомним их определения.

Пусть задано метрическое пространство .Элемент называется пределом последовательности элементов по метрике ,если . Здесь- обычная числовая последовательность и символобозначает предел числовой последовательности.

Если записать полное определение предела числовой последовательности, то получим следующее эквивалентное определение предела последовательности элементовметрического пространства в развернутой форме. Элемент называется пределом последовательности элементовпо метрике, если для любого положительного числанайдется натуральный номерN, такой, что для любого номера выполняется неравенство

Для пределов последовательностей в метрических пространствах используют то же обозначение, что и для пределов числовых последовательностей: в. Кроме того, в таких случаях говорят, что последовательностьсходится к элементуa по метрике .

Окрестностью (или просто окрестностью) элемента в метрическом пространстве называется множество элементов, удовлетворяющих неравенству.

Проколотой -окрестностью элементав метрическом пространственазывается множество элементов , удовлетворяющих неравенству.

Элемент называется предельной точкой множества в метрическом пространстве , если в любой проколотой окрестности этого элемента содержатся точки изD.

Элемент называется изолированной точкой множества в метрическом пространстве , если существует проколотая окрестность этого элемента, в которой не содержатся точки изD.

Пусть заданы метрические пространства ,, а также функция (отображение, оператор). Здесь область определения функции. Пусть элемент является предельной точкой области определения функциив. Элемент называется пределом функцииF в точке a (при x стремящемся к a) на паре метрических пространств ,, если для любого положительного числанайдется положительное числотакое, что для любого элементаи такого, что, выполняется неравенство.

Пусть заданы метрические пространства и, а также функция (отображение, оператор). Здесь область определения функции. Элемент .Функция называется непрерывной в точке a на паре метрических пространств , , если для любого положительного числанайдется положительное числотакое, что для любого элементаи такого, что ,выполняется неравенство.

Если и является предельной точкой области определения функции, то, используя определения предела и непрерывности функции в точке a, можно записать: .

Если же является изолированной точкой области определения функции, то определение непрерывности функции в ней будет выполнено автоматически.

Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Метод последовательных приближений

В основе очень многих численных методов, получивших название итерационных, лежит единый общий подход. Он получил название метода последовательных приближений. Рассмотрим его в общем виде.

Пусть решается некоторая задача. Решением ее является некоторый элемент метрического пространства. Этот элемент в дальнейшем будем называть точным решением задачи. Ищется приближенное решение задачи, абсолютная погрешность которогоне превышает заданного положительного числа.

Для получения искомого приближенного решения задачи построим последовательность элементов нашего метрического пространства, сходящуюся кв нем:

. (1.11.1)

Согласно развернутому определению предела этой последовательности, для заданного числа найдется натуральный номерN такой, что для любого номера выполняется неравенство. Таким образом, каждый из членов нашей последовательности с номеромk, большим номера N или равным ему (,, …), может быть выбран в качестве искомого приближенного решения задачи, абсолютная погрешность которого не превышает. Поэтому любая последовательностьэлементов нашего метрического пространства, сходящаяся к, получила названиепоследовательности приближений или последовательности итераций, а ее члены называются последовательными приближениями (итерациями).

Метод последовательных приближений сводит вычисление приближенного решения задачи к двум действиям:

1) построению последовательности приближений;

2) подбору натурального номера N по заданному значению .

После того, как это проделано в качестве искомого приближенного решения, можно выбрать .