Конспект лекций Электродинамика и РРВ

Найденное соотношение называется уравнением эйконала. В декартовых координатах оно принимает вид

Уравнение эйконала есть основное уравнение геометрической оптики. Учитывая (6), из (4) имеем

где k - волновой вектор. Взяв некоторую локальную систему координат, имеем

где множитель exp(-iϕ(0)) можно рассматривать в качестве неопределенного коэффициента. Это значит, что согласно предыдущему

Мы видим, что локально волновой процесс описывается как плоская однородная волна.

Распространение локально плоских волн в неоднороных средах описывается при помощи криволинейных лучей (рис 2). Здесь имеем среду, оптическая плотность которой меняется в направлении оси Z. Рассмотрим два положения фронта локально плоской волны ϕ1 и ϕ2 (рис 3).

Рис. 2

Рис. 3

При данном смещении фронта на разных уровнях будут пройдены раз-

ные пути. В частности пути ∆l1 и ∆l2 (вдоль лучей ν1 и ν2) равны

∆l1 = cωτ , ∆l2 = n + dϕcτ∆z +..., dz

где τ - время смещения фронта волны. Дело в том, что на нижнем уровне фазовая скорость есть v(z) = c/n, а при вычислении v(z + ∆z) необходимо учесть приращение показателя преломления. Из подобия треугольников на рис 3

где R – радиус кривизны луча. Отсюда с учетом выражений ∆l1 и ∆l2 получаем

Рассмотрим следствия из формулы (15). При переходе к однородной среде ( dn / dz → 0 ) согласно (15) R → ∞: радиус кривизны неограниченно возрастает, т.е. луч становится прямым.

В силу записи формулы (15) радиус кривизны R считается положительным, если кривая (луч) обращена выпоклостью в сторону возрастания z. Поэтому луч уклоняется вниз при уменьшении показателя преломления с высотой и вверх – при увеличении. На рис 2. Эти случаи соответствуют зонам z < z’ и z > z’.

Искривление лучей, описывающих распространение локально плоских электромагнитных волн в неоднородных средах, обычно называется рефракци-

ей.

О пределах применимости геометрической оптики

Переход от уравнений Максвелла к уравнениям (3) и, далее, к уравнению эйконала (6) был проведен в предположении, что

Проще всего воспользоваться этими неравенствами, когда некоторое поле Е, Н уже известно и представлено в форме (1). Тогда можно сказать, правомерно ли трактовать поле с позиции геометрической оптики.

Неравенства (16), (17) дают информацию о допустимой быстроте изме-

нения векторных амплитудных коэффициентов E и H в представлении (1). Перепишем (17) в форме:

(проницаемости считаем вещественными); величины Z и λ = 2π/k определяем обычным образом, но полагаем изменяющимися в пространстве вместе с ε и µ.

Поскольку в числителях (18) фигурируют первые производные компо-

нент E и H по координатам, то неравенства (18) будут заведомо выполнены, если

Лекция № 15. Электромагнитные волны в продольно–однородных

структурах

Рассмотрим решения однородного скалярного уравнения Гельмгольца

для пространственной структуры, которая является однородной в направлении z, т.е. все ее сечения плоскостями z = const тождественны. Примеры таких структур показаны на рис.1.

Рис. 1

Функция u рассматривается внутри и (или) вне обобщенного цилиндра (а) или при наличии нескольких аналогичных подобластей (б). Параметр k может принимать разные постоянные значения в подобластях, на их границах um удовлетворяет некоторым условиям. Например, могут рассматриваться ре-

шения уравнения (1) внутри цилиндрической области (рис.1а) при граничном условии um = 0 .

Предположим, что решение um можно представить в виде произведения

Говорят, что в этом равенстве разделены переменные: оба слагаемых – функции разных аргументов. Поэтому, в частности, изменяя z, нельзя повлиять на первый член, и он наверняка сохраняет при этом постоянное значение. Но

ввиду равенства (3) это означает, что остается постоянным и второй член, т.е. он равен некоторой константе. Обозначим ее -Г 2, т.е. Z”/Z = -Г 2. Мы видим, что первый член равен противоположной константе - Г2. Таким образом, от (3) приходим к двум независимым уравнениям.

Если решения Z и T найдены, то тем самым найдено и решение первоначального уравнения Гельмгольца u = TZ. Использованный прием называется

методом разделения переменные.

Вид решений обыкновенного дифференциального уравнения (4) хорошо

известен: Z = Ae−iГz + BeiГz , где A и В - неопределенные коэффициенты. Поэтому

По форме два члена решения – не что иное, как комплексные амплитуды волн. Поскольку они зависят от поперечных координат x, y, то эти волны – неоднородные. Величина Г называется продольным волновым числом, а также по-

стоянной распространения. Введенный параметр χ называют поперечным волновым числом.

Можно сказать, что трехмерную задачу о распространении волн в про- дольно-однородной структуре мы свели к рассмотрению двумерного уравнения Гельмгольца. При этом неизвестна не только функция T(x, y), но и параметр χ2. Само по себе уравнение (5) не имеет определенных решений. Необходимо поставить краевую (граничную) задачу. Пусть, например, L - контур поперечного сечения цилиндра на рис. 1а. Первый краевой задачей для двумерного уравнения Гельмгольца называют следующую:

Пусть, эта задача внутренняя (т.е. Т ищется цилиндра). Тогда она имеет бесконечное множество решений {Tn}, каждое из которых реализуется при определенном значении параметра χ2. Решения Tn называются собственными функциями, а соответствующие им значения χn2 параметра χ2 - собственными значениями. Нумерация производится в порядке неубывания собственных значений: χ12 ≤χ22 ≤.... Если разным собственным функциям соответствует оди-

наковые собственные значения, то последние называются вырожденными.

Вторая краевая задача для уравнения (5):

Умножим обе части уравнения (5) на Т* и проинтегрируем по поперечному сечению S цилиндра (рис. 1а).

S

Т.к. согласно двумерному аналогу теоремы Грина

то можем получить следующее интегральное соотношение, определенное как для первой, так и для второй краевой задачи

S

Отсюда следует, что собственные значения рассматриваемых задач неотрицательны.

Если фигурируют несколько подобластей (рис. 2б) и для каждой из них k принимает свое значение ki, то соответственно этому в (5) возникают разные поперечные волновые числа

Постоянная распространения Г является общей для всей продольно– однородной структуры: в противном случае было бы невозможно связать решения в подобластях граничными условиями на поверхностях их раздела.

Общее представление поля в продольно-однородных структурах

Рассмотрим структуры (рис. 2), имеющие важное практическое значение. Это различные полые волноводы (рис. 2а) – металлические трубы того или иного поперечного сечения; диэлектрические волноводы (рис. 2б); открытые и замкнутые структуры с несколькими металлическими элементами (рис. 2в) и ряд других, включая линии передачи, используемые в так называемых инте-

гральных схемах (ИС) СВЧ (рис. 2г).

Рис. 2

Любая из компонент векторов Em и Hm , свободного электромагнитного

процесса в продольно–однородной структуре может быть представлена в виде

(6). Рассматривая волны одного направления, оставим первый член суммы (т.е. положим B = 0). Таким образом, векторы Em и Hm выразим в следующем виде:

Подстановка (11) в однородные векторные уравнения Гельмгольца приводит к двумерным уравнениям

где χ2 = k 2 − Г 2.

Если имеется несколько однородных областей i с разными свойствами, то столько же раз пишутся уравнения, причем χ2i = ki2 − Гi2.

Следующий шаг – использование однородных (jстm = 0) уравнений Мак-

свелла, которые записываются в координатной форме. При этом учтем, что поскольку продольная зависимость всех компонент поля описываются множителем exp(-iГz), дифференцирование по z сводится к умножению на -iГz. Итак, имеем следующие шесть скалярных уравнений:

Аналогично находим второе решение