Конспект лекций Электродинамика и РРВ

где k1 = (ωc) ε1µ1 ; k2 = (ωc) ε2µ2 - волновые числа для первой и второй сред, а углы γ1, γ2 и γ3 (с теми или иными верхними индексами) – это ориентационные углы направлений распространения соответствующих волн.

Тогда

exp(−ik1ζ0 ) = exp(−ik0r) = exp −ik1 (x cos γ10 + y cos γ02 + z cos γ30 ) ,

Компоненты векторов поля в граничных условиях (1) имеют характер констант, умноженных на функции из (3), взятые при z = 0. Эти условия могут быть удовлетворены только при линейной зависимости компонент, что требует выполнения равенств

exp −ik1 (xcos γ10 + y cos γ02 ) = exp −ik1 (xcos γ1− + y cos γ−2 ) =

(4)

= exp −ik2 (xcos γ1+ + y cos γ+2 ) .

Лишь в этом случае условия (1), будучи удовлетворены в некоторой точке (например, в начале координат), выполняются везде на границе.

Рис. 2. К выводу законов Снелиуса

Потребуем, чтобы волновой вектор падающей волны лежал в плоскости чертежа, т.е. составлял угол γ01 = 90о с осью х (направленной по нормали к чертежу). Тогда cos γ01 =0 и из (4) следует, что

Следовательно, γ-1 = γ+1 = 90о : все три волновых вектора лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется плоскостью падения волны. Смысл этого факта очень прост. Раз поле падающей волны не зависит от координаты х, то такая зависимость отсутствует и у двух других волн.

Из (4) также следует, что

так как γ02 = 90о - ϕ и γ-2 = 90о - ϕ’. Это составляет содержание известного из оптики первого закона Снеллиуса.

2) Учитывая, что γ+2 = 90о - ϑ, где ϑ - угол преломления, и переходя от

а это соотношение – выражение второго закона Снеллиуса, вытекающее из электродинамической теории.

Следствия второго закона Снеллиуса

Хотя электродинамический вывод законов Снеллиуса – это всего лишь промежуточный этап при решении задачи о падении электромагнитной волны на границу раздела сред, уже на этом этапе можно сделать ряд содержательных выводов.

1) Пусть первая среда оптически более плотная (k1 > k2). Из (8) следует, что угол преломления ϑ в данном случае больше угла падения ϕ. Следовательно, при некотором остром угле ϕ = ϕ*, который называется предельным углом внутреннего отражения, окажется, что угол ϑ - прямой. При этом преломленная волна распространяется вдоль границы раздела сред. Пологая в (8) ϑ = 90o, для ϕ = ϕ* получаем

где n12 - относительный показатель преломления первой среды относительно второй. При дальнейшем увеличении угла падении (ϕ > ϕ*), как следует из второго закона Снеллиуса, sinϑ > 1. Это значит, что углам ϕ, лежащим в пределах ϕ* < ϕ < 90o, не соответствуют какие-либо вещественные ϑ: преломленного луча нет, происходит полное отражение.

2) Пусть теперь вторая среда является значительно оптически более плотной, чем первая (k2 >> k1). Согласно второму закону Снеллиуса

Это значит, что при любом угле падения ϕ преломленный луч близок по направлению к внутренней нормали.

Рассмотрим случай падения плоской волны на границу раздела с поглощающей средой (k1 - величина вещественная, k2 - комплексная). Из (8) следует, что при любом угле падения ϕ неизбежно окажется комплексным sinϑ, а следовательно, ϑ уже не может рассматриваться как обычный пространственный угол.

Рис. 3. Плоская неоднородная волна

Для функции, характеризующей волну во второй среде, можем запи-

сать:

= e−χ''z z exp −i (χy y + χ'z z ) .

Записывая вытекающие отсюда условия постоянства амплитуды и фазы волнового процесса, видим, что это уравнение двух несовпадающих плоскостей

Таким образом, волна является неоднородной: ее амплитуда не остается постоянной в плоскости фронта, а экспоненциально изменяется по нормали к границе сред; из физических соображений ясно, что по мере углубления в поглощающую среду поле должно убывать: χz” > 0.

Угол между нормалью к фронту волны и осью z определяются из соот-

Пусть потери малы. Взяв |k2| > k1, можно убедиться, что угол γ близок к той величине ϑ, которая получается в пренебрежении потерями.

Если же |k2| < k1, различие будет заключаться в том, что полное отражение при потерях уже окажется невозможным: во всех случаях угол γ будет существовать.

В случае очень больших потерь, когда |k2| >> k1, угол γ становится очень малым (tgγ << 1): преломленный луч уходит вглубь поглощающей среды практически по нормали, т.е. так же, как в аналогичном случае при отсутствии потерь.

Поля при нормальном падении плоской волны на границу раздела сред

В этом случае направления распространения отраженной и прошедшей волн коллинеарные. Выпишем выражения комплексных амплитуд векторов E H всех трех волн:

Поскольку величина коэффициента A является неопределенной (падающая волна может нести любой поток энергии), то введем коэффициент отражения ρ и коэффициент прохождения τ следующими формулами

Это отношения комплексных амплитуд вектора E для волн на границе раздела сред. Как видно из (15)

ρ = B A, τ = C A.

Векторы поля всех волн имеют только тангенциальные компоненты на границе раздела сред. Поэтому, исходя из граничных условий (1), получаем для ρ и τ систему уравнений

Задача решена: теперь на основании (16), (18) для всякого заданного A по формулам (15) можно выразить полное электромагнитное поле в обеих средах.

Проанализируем полученный результат. Отметим сначала, что отражение от границы может отсутствовать, при этом волна полностью проходит во вторую среду. Из (18) следует, что эта возможность реализуется при равенстве волновых сопротивлений

Говорят, что в этом случае среды согласованы.

Складывая падающую и отраженную волны, на основании формул (15), (16) и (18) запишем следующие выражения комплексных амплитуд векторов поля в первой среде:

Как видно, амплитуды Em и Hm векторов Е и Н пропорциональны мо-

дулям комплексных чисел, заключенных в круглые скобки. Период пространственного распределения Em(z) и Hm(z) равен половине длины волны в первой среде. Таково расстояние между соседними максимумами либо минимумами данных функций.

Напряженности поля принимают максимальные значения, которые в 1 + |ρ| раз выше, и минимальные, которые в 1 - |ρ| раз ниже, чем в падающей волне.

Соотношение (6) и (10) называют формулами Френеля. Найденные ранее выражения коэффициентов ρ и τ при нормальном падении волны – частный случай формул Френеля (6) или (10), соответствующий ϕ = 0.

При параллельной поляризации независимо от соотношения вещественных проницаемостей сред коэффициент отражения меняет знак, проходя через нуль. Таким образом, при некоторых углах отражение отсутствует: происходит полное прохождение волны во вторую среду. Угол падения ϕ, при котором возникает полное прохождение, называется углом Брюстера.

Условие обращения в нуль коэффициента отражения ρ|| легко получить из формулы (10), выражающей эту величину.

Z2 cosϕ− Z1 cosϕ= 0 → Z2 1−(k1 / k2 )2 sin2 ϕ = Z1 cosϕ;

В случае µ1 = µ2 из (11) получим следующее выражение угла Брюстера

Обращение в нуль числителя выражения ρ (6) приводит вместо (11) к равенству:

При µ1 = µ2 не существует угла ϕ, удовлетворяющего этому уравнению, а следовательно, полное прохождение невозможно.

Выпишем формулы, выражающие комплексные амплитуды Em ,Hm па-

дающей, отраженной и прошедшей волн при обеих исследованных поляризациях.

Перпендикулярная поляризация