Конспект лекций Электродинамика и РРВ

При вычислении добротности резонаторов различные факторы, определяющие потери, можно учитывать отдельно. Пусть Pп = Pп1 + Pп2 + PпΣ , где име-

ются в виду потери в диэлектрических элементах, в металлических элементах и на излучение, соответственно. Введем парциальные добротности

каждая из которых вычисляется с учетом одного из факторов. Тогда для полной добротности имеем

т.е. обратные добротности складываются. Правда этот вывод нельзя считать строгим: действие разных факторов приводит к некоторому перераспределению поля, а следовательно, величина W не будет одной и той же при вычислении разных парциальных добротностей и полной добротности. На практике запас энергии W обычно вычисляют, исходя из распределения поля в резонаторе без потерь. В этом приближении и применяются формулы (15) и (16).

Считая отсутствующими магнитные потери, для парциальной добротности Qд можем записать

Замена величины Рп средней мощностью Pп закономерна в обычных условиях, когда ω”<< ω’ (Q >> 1).

Для определения парциальной добротности Qм будем вычислять запас энергии W через магнитную энергию, как Wmaxм = 2W м , а потери – из теории сильного скин–эффекта

где µм - относительная магнитная проницаемость металла. Обычно µм = µ = 1. Отношение интегралов в (18) при сохранении формы резонатора и типа

колебаний пропорционально линейному размеру и, следовательно, обратно пропорционально собственной частоте ω. Учитывая частотную зависимость ∆о, видим, что добротность Qм изменяется, как ∆ ω .

Вычисление парциальной добротности QΣ не сводится к применению некоторой общей формулы. Резонатор нужно рассматривать одновременно со связанной через отверстие электродинамической структурой.

Лекция № 21. Открытые резонаторы

Для освоения волн субмиллиметрового и светового диапазонов созданы приборы квантовой электроники, основной частью которых являются открытые резонаторы, составленные из систем зеркал.

1. Поле в резонаторе, образованном прямоугольными зеркалами.

Рассмотрим открытый резонатор, образованный двумя прямоугольными зеркалами с размерами 2а и 2b, отстоящими друг от друга на расстоянии 2l

(рис.1).

Рис. 1. Прямоугольные пластины, образующие открытый резонатор

Начало координат системы х, у, z расположим в центре резонатора. Как обычно, задача состоит в нахождении картины распределения электромагнитного поля внутри резонатора. Естественно, что внутри резонатора любая из функций поля Ф (х, у, z) (например, Ex, Ey и др.) будет удовлетворять волновому уравнению вида

Решение (4.61) следует искать в форме, предусматривающей гармоническую функциональную зависимость поля от z

Кроме гармонической зависимости от z, определяемой множителями exp(± jkz), предполагается также слабо затухающая от зеркал к центру резона-

тора зависимость, определяемая изменением от z амплитудной функции W (x, y,±z). Возможная симметричность и антисимметричность поля относи-

тельно начала координат учтена в (2) множителем (-1)q.

Одновременно в решении (2) учитывают, что на поверхности зеркал функция поля Φ(x, y,±l) должна обращаться в нуль. Это условие можно выпол-

нить, если функции W (x, y,±l) удовлетворяют соотношению

В самом деле, подставляя (3) в (2), получим

Φ(x, y,±l)=W (x, y,l) exp( jkl)−(−1)q exp( j(2kl − qπ))exp(− jkl ) = =W (x, y,l)exp( jkl) 1−(−1)q exp(− jqπ) ,

Заметим также, что множитель 2kl − qπ для обеспечения целого числа

полуволн между зеркалами резонатора должен быть кратен или просто равен π . Для этого следует положить

Тогда фазовый набег, обеспечивающий резонансные условия в открытом резонаторе,

откуда следует, что индекс q >>1, так как lλ >>1.

Вычислим производные решения (2), входящие в уравнение (1). Для сокращения записи обозначим W (х, у, z) = W и будем дифференцировать и подставлять лишь первое слагаемое решения (2)

∂∂Φz = ∂∂Wz exp(jkz)+ jkW exp(jkz),

∂2Φ = ∂2W exp(jkz), ∂y2 ∂y2

Подстановка решения (2) и производных (7) в (1) приводит к уравнению относительно W (х, у, z)

Уравнение эллиптического типа (8) можно упростить и привести к параболическому типу, если предположить, что зависимость W(х, у, z) от z слабая. Действительно, не следует ожидать сильного затухания поля в пространстве между зеркалами, и поэтому

Тогда получим

В дальнейшем для упрощения рассуждении не будем рассматривать векторную ориентацию компонент поля в резонаторе, а рассмотрим лишь распределение интенсивности амплитуды поля внутри него. Для решения (10) используем подстановку Фурье

Использование (11) разбивает (10) на два уравнения с постоянной разделения равной нулю

Будем искать решение (12), (13) в форме, которая обеспечивает принятое ранее предположение о слабом затухании (с коэффициентом затухания δ)

W (x, y, z) от z

где δz 1.

Здесь следует принять знак «плюс» для z > 0 и «минус» для z < 0 с тем, чтобы решение (14) определяло затухание поля от зеркал к середине резонатора.

Проведем вычисление функции W (х, z). Найдем производные

В ряде случаев зеркала открытых резонаторов берут круглой формы, причем сами зеркала часто делают сферическими, что позволяет осуществить лучшую концентрацию поля в пространстве между зеркалами.

Лекция № 22. Эквивалентная схема нерегулярности в волноводе

Рассмотрим здесь в общем виде взаимосвязь между обусловленным нерегулярностью множеством полей различных типов и ее эквивалентной схемой. Пусть область нерегулярности V ограничена поперечными сечениями S' и S'' двух в общем случае различных волноводов 1 и 2, в каждом из которых распространяется бегущая волна только одного рабочего типа (рис. 1).

Рис. 1

В волноводе 1, кроме падающей волны рабочего типа, существуют обусловленные нерегулярностью отраженная волна рабочего типа и местные поля высших типов. В согласованном с нагрузкой волноводе 2 существуют падающая волна рабочего типа (прошедшая сквозь нерегулярность) и местные поля высших типов. Полное поле при этом можно представить в виде разложения по собственным волнам волноводов:

Здесь и далее одним штрихом обозначены величины, относящиеся к сечению S' первого волновода, двумя штрихами — к сечению S″ второго волновода; волны рабочего типа обозначены индексом v = 1.

Связь токов и напряжений в эквивалентных длинных линиях представим в виде соотношения

где использована характеристическая проводимость Ycv = l/Zcv. Для бегущих волн рабочего типа характеристическая проводимость является вещественной:

Наиболее просто решаются электродинамические задачи о плоских нерегулярностях, имеющих нулевую протяженность вдоль оси волновода (например, бесконечно тонкие диафрагмы, скачкообразные изменения поперечного сечения волновода).

Рассчитаем в качестве примера параметры эквивалентной схемы плоской нерегулярности в виде скачкообразного изменения размера плоского волновода

(рис. 3).

Рис. 3.

Определим значение проводимости Yш = g +ib , учитывающей краевой эффект от соединения двух линий с различным сечением:

Задача расчёта Yш сводится, вычислению волновых амплитуд

различных типов полей. Для расчёта этих амплитуд обратимся к граничным условиям в точке z = 0. Сшивание электрических полей в плоскости скачка дает:

Умножим обе части этого равенства на cos(lπa)x , где l = 1, 2, 3, … и, интегри-

руя в пределах от 0 до а, с учётом свойств ортогональности тригонометрических функций будем иметь:

Сшивание магнитных полей в плоскости скачка аналогичным образом позволяет получить:

Выражения (8) и (9) представляют собой бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, определяющих амплитудные коэффициенты

нения (8) придётся подставить в уравнение (9). После несложных преобразований будем иметь:

Система (11) тоже содержит бесчисленное множество уравнений и бесчисленное множество неизвестных Bp B0 . Давая индексу p определённые зна-

чения 1, 2, 3, и т.д. и ограничивая число членов уравнений наивысшим значением p, мы получим конечное число уравнений, из которых приближённо можно

определить конечное число неизвестных Bp B0 .

Не останавливаясь на вопросе о возможных преобразованиях для удобства вычислений сумм, входящих в уравнения (11), приведём некоторые конечные результаты.

Анализ показывает, что эквивалентная проводимость Yш имеет ёмкостной характер, т.е. Yш =iωCш , где