Конспект лекций Электродинамика и РРВ

___ ___ ___

PΣ = −Pст =| Pст | .

Если же ε” > 0 , µ” > 0, то положителен и объемный интеграл, а, следовательно, средняя мощность излучения уменьшится на его величину. В случае,

___

когда область V энергетически изолирована, так что PΣ = 0 , мощность источников полностью «гасится» объемным интегралом. Можно сказать, что объемный интеграл в (10) взятый без знака минус, выражает среднюю мощность по-

терь в V

Полученный результат проясняет смысл мнимых частей ε” и µ” комплексных проницаемостей ε и µ. При ε” = µ” = 0, т.е. когда ε и µ вещественны, среда является непоглощающей. Потери энергии существуют при ε” > 0 и (или) µ” > 0. Эти, как говорят, электрические и магнитные потери происходят в результате преобразования энергии поля в какие-то иные формы.

В простейшем варианте, когда поглощение вызвано только проницаемостью среды

ной мощностью и реактивным потоком энергии. При вещественных ε и µ получаем

Реактивные величины связаны здесь с разностью средних значений электрической и магнитной энергий в V.

Последнее соотношение, являясь прямым следствием уравнений Максвелла, часто весьма полезно для расчетов, но оно не имеет четкого физического смысла.

Общие свойства решений системы уравнений электродинамики в комплексной форме

Решения уравнений Максвелла, как и других уравнений в частных про-

изводных, принадлежат весьма широкому классу. Нахождение того или иного решения уравнений еще не означает, что получено электромагнитное поле, которому можно приписать определенное физическое содержание.

Выясним, при каких условиях система уравнений

имеет некоторое единственное решение, обладающее физической определенностью.

Пусть требуется найти поле внутри области V, ограниченной поверхностью S, внутри которой задан сторонний ток с плотностью jстm .

Рис.1. Внутренняя электродинамическая задача

Вместо внутренних источников или наряду с ними может существовать поток энергии через границу S.

Поскольку система уравнений (14) линейная, то эти функции должны удовлетворять ей при jстm = 0 .

×h = iωε0εe,

×e = −iωµ0µh.

Если оказывается, что поверхностный интеграл в (16) равен нулю, то значит, исчезает и объемный интеграл справа. Но тогда при положительных ε” и µ” обращается в нуль подынтегральное выражение, поэтому равны нулю

e 2 и h 2 . А это значит, что решение задачи единственно: два гипотетических решения совпадают.

При каких же граничных условиях исчезает поверхностный интеграл?

Действительно, задание Еτ, например, означает, что для любых решений эта величина - одна и та же, следовательно, еτ = 0 и поверхностный интеграл обращается в нуль. Аналогично рассматривается значение Нτ.

Итак, решение уравнений (14) при нахождении вынужденного электромагнитного поля внутри области V с границей S единственно, если задано одно из граничных условий (17), а также ε” > 0 и µ” > 0. Существенно, что величины ε” и µ” могут быть как угодно малы. Можно также допустить, что ε” = 0 и

µ” = 0.

Исследованная задача называется внутренней задачей электродинамики.

Все рассуждения можно построить и для внешней задачи, когда внутреннее поле существует в бесконечном пространстве вне некоторой области

V’.

Рис.2. Внешняя электродинамическая задача

По-прежнему исходя из энергетического соотношения (16), мы должны также распространить интегрирование в правой части на бесконечное пространство вне V’. В качестве границы S’ в (16) возьмем совокупностьS’и сферической поверхности S” бесконечно возрастающего радиуса. Поверхностный интеграл в (16) исчезнет, если кроме одного из условий (17), теперь задаваемых

на S’, в пределе при r →∞ исчезает вклад сферы S”. Это будет, если (e ×h )

убывает быстрее, чем 1/r2. Для этого, в свою очередь, достаточно, чтобы напряженности поля в рассматриваемом классе решений убывали быстрее, чем

1/r.

Таким образом, единственность решения внешней задачи (а следовательно, его физическая определенность) установлена для прочих равных условий только в классе достаточно быстро убывающих функций.

Лемма Лоренца и принцип взаимности

Рассмотрим теперь два разных решения уравнений (14), которые получаются для одной и той же среды при задании сторонних токов с плотностями

j1ст и jст2 :

Умножим первое уравнениепервой системы на Em2 а второе уравнение

Полученное соотношение называется леммой Лоренца Если токи сосредоточены в правильной области, то, распространяя ин-

тегрирование на бесконечное пространство, можно придти к выводу от уничтожения поверхностного интеграла. Тогда

∫(jстm2 Em1 − jстm1 Em2 )dV = 0.

V

Если первые токи сосредоточены в области V1, а вторые – в V2, то отсюда следует, что

Полученный результат выражает принцип взаимности для двух распределений сторонних токов, двух источников. Примечательно, что симметрия соотношений совершенно не зависит от характера среды, которая лишь предполагалась изотропной.

В заключение остановимся на принципе двойственности уравнений Максвелла.

При отсутствии источников (jстm = 0) замена

сохраняет эту систему уравнений, причем первое уравнение переходит во второе, а второе – в первое.

Значение принципа двойственности состоит в следующем. Предположим, что имеются формулы, выражающие решение электродинамической зада-

чи. Тогда для получения решения задачи, в которой векторы Em и Hm меняются ролями достаточно в готовых формулах сделать замену (22).

l/v), отличающуюся лишь сдвигом: u(l, t) = u(0, t - l/v).

Рассмотренный волновой процесс – это плоская однородная волна в недеформирующей ее среде. Зафиксируем какое либо мгновенное значение, фазу процесса, например, значение u = a. Плоскость z = const, для которой u = a, за время τ = t1 – t2 переместится на расстояние l = vτ. Плоскость с любой фиксированной фазой называют фронтом рассматриваемой волны. При этом распространение волны можно обсуждать как движение ее фронта. Для волны, распространяющейся в противоположенном оси z направлении знак скорости v изменяется. Если считать величину v положительной, то аргумент t – z/v можно заменить на t + z/v.

Конкретизируя выражение (1) для закона гармонических колебаний u(t) = umcos(ωt +t), приходим к представлению о гармонической волне.

Введенный параметр k = ω/v называется волновым числом, а v - фазовой скоро-

стью.

При заданном фиксированном t величина u(z, t) дает косинусоидальное пространственное распределение. Его период есть такое приращение координаты z, при котором фаза изменяется на 2π. Этот пространственный период называется длиной волны и обозначается символом λ, таким образом, kλ = 2π. Волновое число, следовательно, имеет два выражения:

Пусть навстречу друг другу распространяются две гармонические волны. При этом:

Такой процесс называется стоячей волной. В каждый момент времени мы имеем неподвижную косинусоиду: ее нули не смещаются вдоль оси z, а остаются фиксированными.

Применяя метод комплексных амплитуд, запишем для гармонической волны (2) комплексное представление.

где um = um exp(−ik z + iϕ) = um0 exp(−ik z); um0 = um при z = 0.

В рамках метода волновые числа могут быть комплексными

что при k” = 0 совпадает с (2). Если k” > 0, это затухающая волна. Величина k”

называется коэффициентом затухания.

Отношение u(z)/u(z + l) = exp(k”l) показывает, во сколько раз уменьшилась амплитуда затухающей волны на пути l. Обычно это отношение логарифмируют и получают величину L, называемую затуханием, которая измеряется в

неперах [Нп] либо децибелах [дБ]:

Распространение затухающей волны можно пояснить на рисунке 3.

Здесь фазовую скорость можно рассматривать как скорость смещения фронта с нулевой амплитудой; длина волны λ, уже не являющаяся периодом, также определяется по нулям. Величина k’ называется коэффициентом фазы.

В скалярных волнах процесс описывается скалярной величиной u. Если волновой характер имеют компоненты некоторого вектора, то говорят о век-

в общем случае не являются параллельными плоскостями, то есть волна может быть неплоской. Если к тому же на этих поверхностях фронта амплитуда um(x, y, z) не принимает постоянного значения, то волна, как говорят, неоднородна.

Неплоская и неоднородная волна может быть локально плоской (и однородной) в некоторой достаточно малой области пространства. Это значит, что

рассматриваемый участок весьма близок к элементу плоскости (и амплитуда на нем практически постоянна).

Уравнение поверхности фронта может принимать простой вид в той или иной криволинейной системе координат. Пусть, например, ϕ(x,y, z) = kr. Если r - координата цилиндрической или, соответственно, сферической системы, то мы имеем цилиндрическую или сферическую волну.

Волновой процесс, зависящий только от t и z, описывается однородным волновым уравнением

Путем подстановки можно легко убедится, что плоская однородная волна, представленная функцией (1) является решением уравнения (14). При этом ϕ(ξ) в (1) может рассматриваться как любая дважды дифференцируемая функция. Решением будет также обратная волна получаемая при замене v на -v. Общее решение волнового уравнения (14) можно представить в виде наложения прямой и обратной волны

Здесь u+(ξ) и u-(ξ) - произвольные дважды дифференцируемые функции. Переходя к гармоническим колебаниям, введем в действие метод ком-

плексных амплитуд, то есть будем рассматривать временную зависимость

где k = ω/v. Мы получили однородное уравнение Гельмгольца. Запишем также уравнение Гельмгольца для трехмерного процесса:

Общее решение однородного обыкновенного уравнения (16) запишется

в виде

где um+0 и um−0 произвольные комплексные константы.