Конспект лекций Электродинамика и РРВ

Баланс энергии будет активным, когда РΣ > 0, т.е. отдача энергии со внешнего пространства преобладает; при этом dW/dt + P < 0. В случае чистого излучения может оказаться, что внутренний запас энергии остается постоянным: W = const, тогда, как видно РΣ = -P. Поскольку РΣ > 0, то P < 0: излучение создается сторонними силами в V. (P0 = Pп’+ Pст и в случае отсутствия потерь РΣ = -P). Но возможно также, что P = 0 (нет ни сторонних сил, ни внутренних потерь, либо, они взаимно уравновешены, тогда РΣ = -dW/dt, а поскольку РΣ > 0, то dW/dt < 0. Это означает, что излучение обусловлено убыванием запаса энергии в V.

Варианты (в), (г) и (д) соответствуют условию: РΣ = 0, это нейтральный баланс энергии. Поток энергии в данном случае может проходить насквозь (в), так, что число входящих линий вектора Пойнтинга равно числу входящих; он также может не входить в область V (г) или вообще отсутствовать (д). Наконец, возможен пассивный баланс, когда поглощение преобладает над излучением (е, ж). При чистом поглощении (е) и постоянстве внутреннего запаса энергии РΣ = -P . Если же Р = 0, то РΣ = -dW/dt . Поскольку РΣ < 0, то dW/dt > 0: поглощение внешнего излучения приводит к росту запаса энергии.

Энергия электромагнитного поля

Исходя из равенства

можно путем интегрирования определить энергию поля.

Если параметры среды ε и µ не зависят от времени, и среда изотропна,

E ∂D ∂t = ε0εE ∂E ∂t = ∂(ε0εE22) ∂t , H ∂B ∂t =µ0µH ∂H ∂t = ∂(µ0µH22)∂t.

Это значит, что операцию дифференцирования по времени в (1) можно вынести за знак интеграла.

В результате знак энергии в объеме V выражается следующим образом:

как видим, энергия слагается из двух частей, одна из которых связана с электрическим полем, а другая – с магнитным. Поэтому пишут W = WЭ + WМ, разла-

гая электрическую энергию

и магнитную энергию

Подынтегральное выражение в (2) – это плотность энергии электро-

магнитного поля:

Соотношение имеет смысл плотной электрической и магнитной энергии:

W = WЭ + WМ.

Локальный баланс и движение энергии

Если допустить, что поток вектора Пойнтинга РΣ через любую, не только замкнутую поверхность, представляет собой поток энергии через эту поверхность, то П следует понимать как плотность потока энергии

здесь π0 - единичный вектор, указывающий направление движения энергии, ∆S

– ортогонально проецированная площадка, ∆РΣ - количество энергии, проходящей через ∆S за единицу времени.

На основании интегрального соотношения

Если P = 0, то (7) совпадает по структуре с дифференциальной формулировкой закона сохранения заряда. Полной аналогии нет, потому что в отличии от заряда q, энергия электромагнитного поля не сохраняется: она переходит в другие виды энергии, порождается ими.

Равенство (7) есть уравнение баланса энергии в дифференциальной фор-

ме. Оно характеризует баланс энергии. Если в исчезающе малой окрестности некоторой точки баланс активен, то dW/dt + P < 0 и П > 0. При пассивном балансе dW/dt + P > 0 и П < 0, а при нейтральном dW/dt + P = 0 и П = 0. Таким образом, при активном балансе рассматриваемая точка является истоком линий вектора Пойнтинга, при пассивном балансе – стоком, а при нейтральном – лежит на некоторой линии вектора Пойнтинга.

Сторонние силы в уравнениях Максвелла

Описание неэлектромагнитных факторов, как говорят, сторонних сил в большинстве случаев сводится к изменению вида материальных уравнений

j = σE.

Используем одну из следующих

j = σ(E + Eст ),

(8)

j = σE + jст .

здесь Ест и jст при решении электродинамических задач являются заранее заданными. Величина Ест называется напряженностью сторонних сил (или про-

сто сторонней напряженностью), а jст – сторонним током. Выражение для плотности мощности р = jЕ можем теперь представить в следующем виде:

где рп = σ-1j2 = σE2 - характеризует потери энергии электромагнитного процесса, pст = -jEст = jстE - характеризует действие сторонних сил.

Сторонние силы обычно локализованы и равны нулю вне объема Vи –

области источников.

Лекция № 5. Гармонические колебания в электродинамике

Гармонические колебания и комплексные амплитуды

то говорят, что происходят гармонические колебания этой величины. При этом um называется амплитудой; ω – круговой частотой, а аргумент косинуса ωt + ϕ - фазой (полной фазой); ϕ - начальной фазой колебаний.

Гармоническое колебание – переходной процесс. Периодом Т называется наименьший отрезок времени, обладающий тем свойством, что u(t + T) = u(t). Очевидно

где f – частота колебаний, число периодов в секунду.

В теории электромагнетизма встречаются скалярные и векторные функции координат и времени, описывающие гармонические колебания. Векторная функция V(r, t) в общем случае разлагается на три скалярных в выбранной системе координат. Например:

Здесь амплитуды и начальные фазы скалярных компонент являются функциями координат.

Если компоненты вектора имеют одинаковые начальные фазы, то эта запись координат имеет вид:

где Vm = x0Vmx + y0Vmy + z0Vmz; ϕ = ϕx = ϕy = ϕz .

В теории гармонических колебаний обычно применяется метод комплексных амплитуд, суть которого состоит в том, что вместо тригонометрических функций в выражениях типа (1), (2), (4) употребляются экспоненциальные. При этом получаются комплексные представления величин. Например, вместо

(1) запишем:

Точка над величиной говорит о ее комплексном представлении. Величина u = umeiϕ , несущая информацию об амплитуде и начальной фазе, называется

комплексной амплитудой. В силу известной формулы Эйлера физическая величина и есть вещественная часть ее комплексного представления:

Отметим, что если как в (4) амплитуда и фаза являются функциями координат, то комплексное представление (5) есть произведение функции координат um (r) и функции времени exp(iωt).

Из формулы Эйлера вытекает следующее соотношение

где звездочка означает комплексное сопряжение.

Метод комплексных амплитуд значительно упрощает технику преобразований при получении решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Все члены линейного дифференциального уравнения оказываются умноженными на exp(iωt). Опуская этот множитель, получаем уравнения относительно комплексной амплитуды, не зависящей от времени. Если в результате решения комплексная амплитуда отрицательна, то для получения искомой физической величины надо лишь умножить комплексную амплитуду на exp(iωt) и отделить вещественную часть.

Для периодической функции от t средним значением называется деленный на Т интервал от 0 до Т. Очевидно, что среднее значение гармонической функции и равно нулю. Среднее от квадрата гармонически колеблющийся величины есть

Введем функцию v = vmcos(ωt + ψ) и найдем среднее от произведения uv:

41T T∫(umvmei2ωt + umvme−i2ωt + umvm + umvm )dt.

0

Первые два члена, выражающие гармонические колебания с частотами 2ω и -2ω дают при интегрировании нуль. В результате

uv = 14 (umvm + umvm )= 14 (umeiϕvme−iψ + ume−iϕvmeiψ )=

12 Re(umvm )= 12 Re(umvm ).

Подобные формулы для векторных гармонических величин v и w имеют

вид:

Рассмотрим разложение некоторой периодической функции в ряд Фу-

рье:

которое представим в комплексной форме

где

c−n = cn = 12 (an −ibn ).

Видно, что коэффициенты ряда Фурье (11) – не что иное, как комплексные амплитуды, а члены – комплексные представления гармонических колеба-

ний с частотами nω (…, -2ω, -ω, 0, ω, 2ω, …).

В случае произвольной временной зависимости запишем разложение в интеграл Фурье

Комплексные проницаемости

Уравнения Максвелла для гармонически меняющихся полей имеет вид:

где εк = ε −i ωεσ0 - комплексная диэлектрическая проницаемость.

В рамках метода комплексных амплитуд любой из параметров уравнения Максвелла должен рассматриваться в пределах комплексной плоскости, что приводит к расширению физического содержания некоторых понятий. В первую очередь это относится к проницаемостям, которые будем обозначать в виде

Таким образом теперь может быть описана инерционность поляризации диэлектриков. При гармонических колебаниях достаточно ввести фазовое за-

паздывание D по отношению к E, т.е. Dm = ε0εEme−iα . Но это означает, что в

данном случае диэлектрическая проницаемость – комплексная величина ε(cosα- isinα).

В дополнении к (14) вводят следующие обозначения:

где ∆ называют углом электрических потерь (или просто углом потерь, а ∆м - углом магнитных потерь).

Ввиду этого выражениям (15) можно придать другую форму

Получим уравнения электродинамики второго порядка в комплексной форме

Пусть среда однородна (ε = const, µ = const). Вынося обратные проницаемости за знак операций дифференцирования и применяя слева тождество

× × v = ( v)− 2 v,

получаем

Это так называемые неоднородные уравнения Гельмгольца.

Векторный потенциал

Поскольку B = 0 (четвертое уравнение Максвелла), то вектор магнитной индукции можно представить в виде ротора некоторого вспомогательного вектора А

Подстановка этого выражения Н во второе уравнение Максвелла, приводит к равенству

Мы видим, что векторная функция в скобках является потенциальной. Приравнивая эту функцию градиенту ϕ, получаем

Таким образом, напряженности Е и Н выражены при помощи соотно-

шений (21) и (23) через электродинамические потенциалы А и ϕ.

В комплексной форме соотношения (22) и (23) записываются в виде:

Внося их в первое уравнение Максвелла, записываем в случае однородной среды:

которое иногда называют лоренцевой калибровкой, получаем следующие уравнения Гельмгольца для электродинамических потенциалов

Таким образом, комплексные амплитуды напряженностей поля выражены при помощи формул (26) и (28) только через векторный потенциал.

Лекция № 6. Гармонические колебания в электродинамике (продолжение)

Баланс энергии при гармонических колебаниях

Поскольку гармонические колебания электромагнитных полей, представляющие интерес для радиоэлектроники, являются весьма быстрыми, обычно имеют дело с их усредненными во времени энергетическими характеристиками.

Средняя плотность энергии в предположении безынерционной среды

Среднее значение плотности мощности

Величина p называется плотностью комплексной мощности, а сама комплексная мощность P , есть интеграл от p по объему.

___

Среднее значение Π вектора Пойнтинга

Промежуточная величина Π называется комплексным вектором Пойн-

тинга. Поток Π через некоторую поверхность S называют комплексным пото-

ком энергии.

Выведем уравнение для среднего баланса энергии электромагнитного поля в некоторой области V.

Будем исходить из комплексной формы уравнений Максвелла, записывая первое из них комплексно-сопряженным:

Изменив знаки и используя соотношения (1) – (3), перепишем это выражение в виде

Проведем интегрирование по некоторому объему V с границей S и перейдем к следующим соотношениям:

Обсудим смысл первого из полученных равенств. В левой части – вещественная часть комплексного потока энергии PΣ . Это – средний поток энергии

___

через S: PΣ = Re PΣ . Последний член справа дает среднюю мощность источни-

____

ка: Pст = Re Pст . Таким образом, рассматриваемое равенство, которому удобно придать вид

является уравнением среднего баланса энергии при гармонических колебаниях.

____

Пусть источники в среднем отдают энергию поля Pст < 0 . Если проницаемости ε и µ вещественные (ε” = µ” = 0), то объемный интеграл в (10) исчезает. При этом в среднем вся мощность источников идет на излучение