Конспект лекций Электродинамика и РРВ

Свободные электромагнитные поля в одномерно–периодических структурах подчиняются так называемой теореме Флоке, выражающей следующее свойство комплексных амплитуд векторов Е и Н:

где ϕ - величина вещественная, если отсутствует поглощение. Это значит, что при сдвиге на величину пространственного алгоритма структуры Λ обнаруживается некоторый фазовый сдвиг ϕ без каких-либо изменений поля.

В силу теоремы Флоке (19) нетрудно построить следующие периодические по z функции:

γ = ϕ/Λ, где γ - специально веденный параметр. Периодичность записанных векторных функций следует из того, что множитель exp(iγz) компенсирует «естественный» фазовый сдвиг, выражающий согласно (19) на отрезке длинной Λ.

Функции E и H можно разложить в ряды Фурье, выразив коэффициенты разложения через соответствующие интегралы, например,

n=−∞

Полученный результат истолковывается следующим образом. Некоторый свободный волновой процесс в периодической структуре, создающий фазовое запаздывание φ на протяжении ее периода Λ, эквивалентен наложению бесконечного множества плоских неоднородных волн с комплексными ампли-

Эти волны, называемые пространственными гармониками, имеют следующие фазовые скорости

и одну общую групповую скорость

Таким образом, фазовая скорость пространственных гармоник может как совпадать по направлению с групповой, так и быть ей противоположной. Их называют прямыми и, соответственно, обратными волнами.

Периодические структуры, для которых Λ << λ, называют частыми: на расстоянии длины в однородной среде укладывается большое число пространственных периодов.

Пусть, например, рассматривается ребристая структура, однородная в направлении y (рис.3).

Рис.3. Ребристая структура

Если она частая, то можно ожидать, что по отношению к верхнему полупространству (x < 0) граница структуры x = 0 проявляет некоторые усредненные свойства, а волновой процесс, распространяющийся в направлении z, представляется главным образом нулевой гармоникой разложений (23).

В пазах структуры может существовать поле, в общих чертах, показанные на рис.3. Волновой процесс в целом можно считать Е-волной. В первом приближении поле внутри паза не изменяется в направлении z, имея характер стоячей T-волны по х, так что

(0 < x <d); выполняется условие Em = 0 при x = d. На основании (27) находим следующее соотношение между комплексными амплитудами Em и Hm на плоскости x = 0:

Поэтому, пренебрегая площадью ребер при x = 0, можно сказать, что эта граница структуры проявляет себя как поверхность, характеризуемая импедан-

сом ZS.

Импедансное описание границы частой периодической структуры оказывается возможным и в других случаях.

Лекция № 18. Прямоугольный металлический волновод

Среди полых волноводов наиболее распространен прямоугольный волновод – металлическая труба прямоугольного поперечного сечения (рис.1).

Рис. 1. Прямоугольный металлический волновод

Найдем решение электродинамической задачи для прямоугольного волновода, оболочка которого принимается за идеально проводящую, а внутренняя среда является однородной. Такая математическая модель в большинстве случаев оказывается удовлетворительной. При необходимости она уточняется путем учета потерь в металле.

В прямоугольном волноводе с идеально проводящей оболочкой могут существовать только волны классов E и H. Рассматривая E–волны, мы должны решить первую краевую задачу для прямоугольного контура

В декартовой системе координат уравнение Гельмгольца имеет вид:

где слагаемые слева – функции разных аргументов. Они, таким образом, независимы, а, следовательно, каждое слагаемое равно константе; обозначив эти

константы −χ2x и −χ2y , получаем вместо (3) следующие два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Общие решения уравнений (4) можно выразить, как известно, в тригонометрической форме следующим образом:

Здесь введен ряд неопределенных констант, неопределенными являются

также χx и χy.

Граничное условие Ez = 0 на L означает следующие требования:

при x = 0, y = 0; x = a, y = b. Мы должны иметь, в частности, Ez (0, y) = 0 . Под-

ставив в (6) x = 0, видим, что это возможно только при А = 0. Потребовав далее выполнения равенства Ez (x,0)= 0 , точно также убеждаемся, что С = 0, то есть:

где N = BD – неопределенная константа. Остается наложить на (8) условия Ez (a, y) =0 и Ez (x,b)= 0 . Они выполняются при χxa = mπ (m = 0,1,2…) и χyb = nπ (n = 0,1,2…), то есть:

где m = 1,2,3… и n = 1,2,3…(нулевые значения m и n исключаются, так как при этом Ez = 0 ).

Итак, решение задачи (1) для прямоугольного волновода дает согласно

(8), (9).

соответствующие им собственные значения χ2mn , путем подстановки (10) в соотношения:

Выразим электромагнитные поля Е–волн:

E mm n = E0m n {z 0 sin (χmx n x )sin (χmy n y )−

Дифференцируя Hz (x, y) по х, а затем по у и требуя обращения в нyль

соответствующих производных при х = 0 и у = 0 , находим , что В = 0 и D = 0, то есть

где N – неопределенная константа.

Налагая теперь условие обращения в нуль тех же производных при х = а и у = b соответственно, приходим к прежним выражениям (9).

Поэтому:

H zmn = H 0mn cos (χmnx x) cos (χmny y ),

Этот минимум реализуется в классе Н. Волна Н10 , обладающая наименьшей критической частотой, называется основной волной прямоугольного

волновода. Обычно соблюдается условие f > fкр10 при f < fкрmn для остальных

типов волн. В этом случае в волноводе перенос энергии осуществляется только одной основной волной.

Рассмотрим строение электромагнитных полей. В классе Е простейшим является тип поля Е11 (рис. 2).

Характер этой картины можно определить из следующих соотношений. Поскольку речь идет о волне класса Е, вектор Н вообще не имеет продольной компоненты: все магнитные силовые линии лежат в поперечных плоскостях. Известно, что они всегда должны быть замкнутыми кривыми (среда однородная, так что линии В и Н одинаковы). Из соображений симметрии ясно, что центром семейства замкнутых магнитных силовых линий должна быть средняя точка сечения. Заметим, что в этой же точке лежит максимум продольного тока смещения. В направлении z максимумы Еz и дD/дt сдвинуты на Λ/4.

Рис. 2. Распределение поля волны Е11

На рис.2 показаны два продольных сечения «мгновенного снимка» волны Е11: x = a/2 и y = b/2. Отмечен отрезок структуры длиной Λ/4. Видно, что длина волны в волноводе Λ есть пространственный период поля.

При анализе любых структур в классе Е рассмотренный тип поля Е11 служит «элементарной ячейкой».

Отметим следующее: во–первых, все плоские границы между ячейками могут быть заменены идеально проводящими плоскостями, это не нарушает структуру поля; во–вторых, направления силовых линий в соседних ячейках согласованы таким образом, что на их границах тангенциальные компоненты Е и Н непрерывны; в–третьих, во всех случаях, когда m и n больше единицы, появляются замкнутые электрические силовые линии; семейства замкнутых электроических и магнитных силовых линий как бы сцеплены подобно звеньям це-

пи. В качестве примера на рис.3 представлена структура поля Е32 (m = 3, n = 2). Можно сказать, что поперечное сечение разбито на 3х2 клеток, в каждой из которых воспроизводится поле Е11 .

Перейдем к обсуждению полей класса Н, начав с поля Н11. Оно не является простейшим, но более простые структуры, когда m = 0 или n = 0, будут рассмотрены отдельно. На рис.4 показаны два поперечных и два продольных сечения структуры поля Н11 для момента времени t = 0.

Структура поля Н11 играет роль элементарной ячейки при анализе всех более сложных структур, когда m ≥1, n ≥1. В качестве примера на рис.5 пока-

зана структура поля Н32 .

Рис. 3. Структура поля волны Е32

Рис. 4. Структура поля волны Н11

Рис. 5. Структура поля волны Н11

Все рассматривавшиеся выше Е– и Н–волны , как говорят, являются попарно вырожденными: разным собственным функциям Ezmn и Hzmn при одних и тех же m и n соответствуют разные собственные значения χ2mn . Поэтому раз-

личные по структуре полей волны Етп и Нтп имеют одинаковые постоянные распространения Гтп, а следовательно, равные фазовые скорости. Вырождение снимается при переходе к реальному металлическому волноводу. Более того, собственные волны оказываются уже гибридными: типы поля Етп и Нтп связываются в некоторые комбинации с преобладанием одного из них.

С повышением частоты или увеличения поперечных размеров волновода растет отношение Г/χ. В пределе отношение продольных компонент к поперечным стремится к нулю. Волны классов Е и Н переходят в Т–волны.