Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тульский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций Электродинамика и РРВ

.pdf

Скачиваний:

333

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

3.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

где pv (t ) - неизвестные коэффициенты, определяющие интенсивность различных типов полей, возникающих в резонаторе.

Подчиним семейство ортогональных собственных функций Av (r ) нормировке так, чтобы выполнялись равенства

1		0	при v ≠µ
1	∫Av ( r )Aµ ( r )dV = 1			(13)
V	∫Av ( r )Aµ ( r )dV = 1		при v =µ	(13)
	V

где V - объем резонатора.

Предположим далее, что заданный сторонний ток можно разложить в ряд


по собственным функциям		v ( r )
по собственным функциям	A	v ( r )
j(r ,t)= ∑iv (t)				v ( r ),	(14)
j(r ,t)= ∑iv (t)			A	v ( r ),	(14)
		v

где j (r ,t ) - объемная плотность сторонних токов. Тогда на основании (13) найдем, что

	V V∫
i	(t)=	1	j(r ,t )			(r )dV .	(15)
i	(t)=		j(r ,t )	A	v	(r )dV .	(15)
v					v

Уравнение (15) позволяет, таким образом, вычислить компоненты стороннего тока, соответствующие различным типам собственных колебаний.

Теперь можно определить и функции pv (t ) в разложении (11). Для этого воспользуемся первым уравнением Максвелла

(r ,t )+ ε

∂E

rot H

∂t

Подставляя в него значения H

и E , выраженные через вектор-потенциал (12),

а также значение тока

из (14) и учитывая ортогональность функции

v (r ),

получим для v -й компоненты уравнения вида

d 2 p (t )

P (t )rot rot A (r )+ A

(r )εµ

=µi

(t )A (r ).

(16)

dt2

Принимая во внимание уравнение (9) , окончательно будем

иметь

d 2 pv (t )

+ ω2 p

(t )= 1 i

(t ).

(17)

dt2

v v

ε v

Решение уравнений (9) и (17) позволяет найти v -ю составляющую вектор - потенциала, а значит, с помощью (11) и реализующей вектор-потенциал поля, после чего по формулам (6) и (7) можно вычислить векторы H и E .

Мы можем приближенно учесть влияние потерь в резонаторе, если по аналогии с обычным колебательным контуром заменим уравнение (17) на уравнение

d 2 pv (t )	+	ωv	dpv (t )	+ω2 p	=	iv (t )	,	(18)
dt2						ε
		Q dt		v v
		v

где Qv - добротность резонатора, соответствующая v -му типу колебаний.

В установившемся режиме гармонических колебаний вместо мгновенных значений iv (t) и pv (t ) целесообразно ввести комплексные величины

ivk (t )= iveiωt и pvk (t )= Pveiωt ,

здесь ω- частота источника, а Iv согласно (15) равна

Iv (t )= 1 ∫ j (r ,t )Av (r )dV . V V

В этом случае взамен (18) будем иметь уравнение для комплексных амплитуд Pv :

Pv (ωv2 − ω2 )+ i

ωωv

P v

= 1 eiωt ,

откуда следует, что

Pv =

(19)

ωωv

ω − ω + i

Обозначая далее ω−ωv = ∆ω и полагая, что

∆ω ωv

<<1 (область малых

расстроек), из (19) получим приближенное равенство:

≈ −

I Q

v v

(ω +ω)(ω − ω)+ i

ωωv

ω2

+ i2Q

∆ω

Стало быть, амплитуда

IvmQv

≈

(20)

ωv2

∆ω 2

2Qv

Последнее выражение аналогично уравнению резонансной характеристики обычного колебательного контура с сосредоточенными параметрами.

Отсюда вытекает, что величина Pvm достигает максимума, если частота колебаний источника ω совпадает с собственный частотой ωv (т.е. при ∆ω = 0 ) и уменьшается по мере отклонения ω от ωv . Но Pvm в конечном счете характе-

ризует амплитуду вектор - потенциала, а вместе с ней амплитуды векторов поля v -го типа колебаний. Следовательно, зависимость амплитуды колебаний v -го типа в резонаторе от частоты источника имеет типичный резонансный характер.

Если резонатор потерь не имеет (Qv → ∞), то амплитуда колебаний, как видно из выражения (19) или (20), при частоте ω= ωv становится бесконечно

большой. Такая же картина, как известно, наблюдается и в колебательном контуре без потерь.

Подставим значение

pvk (t )

в исходное выражение для вектор-

потенциала. [Разумеется, теперь

речь идет

уже о комплексном

векторе

k (r ,t )]. В результате получим

ei ωt

∑

Ak (r ,t )=

Av (r ).

(21)

(ωv2 − ω2 )+ i

ωωv

Из этого выражения видно, что резонанс в рассматриваемой системе возникает каждый раз, когда частота колебаний источника совпадает с собствен-

ной частотой ωv , если, конечно, Iv при данном v не равно нулю. Таким обра-

зом, резонатор действительно имеет множество резонансных частот, которые в случае малых потерь приближенно равны частотам собственных колебаний.

Перейдем теперь к расчету входного сопротивления витка. Поток Ф через виток равен

Ф = ∫µH

dS = ∫Adl = ∑pv (t )∫Av (r )dl .

(22)

Как видно из структуры последнего равенства, ∫Av dl представляет собой маг-


нитный поток, соответствующий v -му							l
						собственному колебанию,		когда
pv (t )=1. Эту величину можно рассматривать как коэффициент взаимоиндук-
ции витка с магнитным полем v -го собственного колебания.
Вводя обозначение
Mv = ∫		v (r )				,		(23)
	A			dl
l
перепишем уравнение (1) в виде
u = RI + ∑Mv			dpv (t )				.	(24)
					dt
v

Для рассматриваемого случая линейного тока I (t ), одинакового во всех точках витка, величина iv (t), входящая в правую часть уравнения (18) , в соответствии с (15) будет равна

i v (t )=	1	I (t)∫		v (r )		=		1	Mv I (t ).	(25)
			A		dl
	V						V
		l

Переходя к установившемуся гармоническому процессу и учитывая (25), напишем вместо уравнения (24) и (18) уравнения для комплексных амплитуд:

U = RI +iω∑Mv Pv ,

			v
	2	2	ωω	=	M	I	,
(ωv		− ω )+ i	v Pv	=	v		,
			Qv		εV

откуда после исключения Pv получим

Zвх	=	U	= R + ∑			iωMv2			.
Zвх	=	I	= R + ∑				ωω		.
		I	v		ωv2	− ω2 + i	ωω
			v	εV	ωv2	− ω2 + i	Qv	v
							Qv

(26)

(27)

(28)

Выражение (28) дает возможность вычислить полное входное сопротивление. Первый член в этом равенстве представляет собой активное сопротивление провода; второй член определяет сопротивление, наводимое полем резонатора. Как видно из (28), для собственных колебаний, частоты которых сильно отличаются от частоты источника, соответствующие слагаемые наводимого (вносимого) сопротивления имеют практически реактивный характер.

Для собственного колебания, частота которого совпадает с частотой источника (ωv2=ω), вносимое сопротивление имеет чисто активный характер и равно

R		=	M 2Q		(29)
R	рез	=	v	v .	(29)
	рез		εV	ω
				v
Из этой формулы следует, что Rрез по мере увеличения добротности Qv
увеличивается. Если резонатор потерь не имеет (Qv → ∞), то					Rрез становится
бесконечно большим.

Лекция № 25. Возбуждение электромагнитного поля в неограниченном

однородном пространстве

Пусть в неограниченном однородном пространстве с параметрами εа, µа, σ задано распределение объемной плотности стороннего электрического тока jст(p,t). Необходимо найти возбуждаемое этим распределением тока электромагнитное поле в точке p(x,y,z) пространства.

Искомые составляющие векторов поля Е(p,t), Н(p,t) должны удовлетворять уравнениям Максвелла. Решение последних, сводится к решению в общем случае четырехмерного волнового уравнения для электрического векторного потенциала Аэ(p,t)

2		э		d 2Аэ	dАэ	ст
	А		−εаµа	dt2	−−σµа dt	= −j .	(1)

Применяя метод комплексных амплитуд, для векторного потенциала в волновом уравнении исключается производная по времени и уравнение превращается в трехмерное уравнение Гельмгольца.

2Аэ	+ k2Аэ	= −jст ,	(2)
m	m	m

решив которое, находят по соотношениям

Hm = × Amэ				,				(3)
E		= −iωµ	Aэ			1	( Aэ
					+			),
						iωεа
	m	а		m			m

комплексные амплитуды векторов напряженности магнитного и электрического полей. Умножив затем полученные выражения на exp(iωt) и взяв действительную часть, найдем мгновенные значения векторов поля.

Рассмотрим решение уравнения Гельмгольца (2). Наиболее точно это удается сделать в декартовой системе координат, в которой векторное уравнение распадается на три независимых скалярных уравнения относительно со-

ставляющих Amxэ , Amyэ , Amzэ :

2 Aэ	+ k2 Aэ	= − jст	,
mx	mx	mx
2 Aэ	+ k2 Aэ	= − jст	,	(4)
my	my	my
2 Aэ	+ k2 Aэ	= − jст	,
mz	mz	mz
где 2 = d 2 dx2 + d 2 dy2 + d 2	dz2 ; k =ω εаµа ; εa =εa (1−iσ ωεa )

Далее предположим, что функция распределения стороннего тока является интегрируемой с квадратом, т.е. если М- конечная величина, то

∫ jmст(x, y,z)2dV ≤M. (5)

Левая часть с точностью до множителя, имеющего размерность Ом, определяет мощность, интегрируемую сторонними источниками и, значит, соотношение (5) соответствует физическим условиям рассматриваемой задачи.

При условии (5) любую из составляющих вектора стороннего тока jmxст , jmyст , jmzст в неограниченном пространстве можно представить в виде преобра-

зований Фурье. Например, составляющая jmxст как функция координаты x при

фиксированных значениях координат y,z записывается в виде следующей пары преобразований Фурье

jст		1	∞	g(κ,y, z)e−iκxdκ,
	=	1					(6)
	=	2π κ=−∞∫					(6)
mx

			1	∞	jст	(x, y, z)eiκxdx.
g(κ, y, z) =			1				(7)
g(κ, y, z) =			2π x=−∞∫				(7)
					mx

Переменная κ в преобразовании (6) – коэффициент распространения, функция g(κ,y,z) – спектральная плотность (или пространственный спектр) стороннего тока jmxст .

Электромагнитное поле, определяемое уравнениями (4), также как и ток, является функцией, интегрируемой с квадратом. Поэтому к составляющим векторного потенциала Аэ можно применять в неограниченном пространстве преобразования Фурье. Очевидно, векторный потенциал является функцией трех координат x, y, z и, поэтому преобразование вида (6) нужно применить трижды:

Amxэ (p,ω)=		1		∫ ∞∫ ∫g1 (κ1, κ2 , κ3 ,ω)e-iκ1x-iκ2 y−iκ3zdκ1dκ2dκ3 ,	(8)
	(	2π)	3
				−∞

где κ1, κ2, κ3 - коэффициенты распространения, соответствующие координатам x, y, z.

Если найти спектральную плотность g1(κ1,κ2,κ3), то, подставив ее в выражение (8) и проинтегрировав последнее, найдем искомую составляющую

векторного потенциала Axэ . С этой целью подставим разложение (8) в первое из уравнений (4). Объединяя подобные члены, получим:

∞

2 κ2

− κ2

−iκ1x−iκ2 y−iκ3z

ст

(9)

= −

∫ ∫ ∫

(

2 ,

3 )

jmx (p,

(

2π)

- 1

3 ) g1

−∞

Таким

образом,

известная

функция

распределения

стороннего

тока

jmxст (x, y, z) представляется в виде тройного преобразования Фурье, причем, спектральная плотность этого тока равна спектральной плотности составляю-

щей векторного	потенциала g1(κ1,κ2,κ3), умноженной на выражение
(k2 − κ12− κ22− κ32 ).	Для того, чтобы найти спектральную плотность составляю-

щей векторного потенциала g1(κ1,κ2,κ3), надо к выражению (9) применить тройное обратное преобразование Фурье. Умножим левую и правую части выражения (9) на множитель:

	1		exp(iκ′2 x +iκ′2 y +iκ′3	z),
(	2π)	3

где κ1’, κ2’, κ3’ - фиксированные значения κ1, κ2, κ3 соответственно, и внесем этот множитель под знак интеграла. Если затем полученный результат проинтегрировать по координатам x, y, z , изменяющимся в неограниченных пределах (взять интеграл по неограниченному пространству), то получим:

∞

∫ ∫ ∫(k2 − κ12 − κ22 − κ32 ) g1 (κ1, κ2 ,κ3 ,ω)

−∞

∞

(

1 1 )

( 2

2 )

(

3 )

dxdydz dκ dκ dκ =

∫−∞∫ ∫

−i

κ −κ′

x−i

−κ′

y−i κ

−κ′ z

1 2 3

(2π)3

= −

∫ ∞∫ ∫ jmxст

(x, y, z,ω) eiκ′x+iκ′2' y+iκ′3'zdxdydz.

(

2π)

−∞

∞

−i(κ−κ′)ξ

′

Поскольку

∫ e

dξ = δ(

κ − κ ), то, учитывая основное свойство δ-

2π

−∞

функции:

(

)

при x

[

a,b

]

∫ f

(x′)δ(x − x′) dx′ =

при x [a,b]

находим:

(k2 − κ1′2 − κ′22 − κ′32 )g1 (κ1′ , κ′2 , κ′3 ,ω)=

= −

∫ ∞∫ ∫ jmxст

(x, y, z,ω) eiκ1′ x+iκ′2 y+iκ′3 z dxdydz.

(

2π)

−∞

Если перенести штрихи с пространственных частей на координаты x, y, z, то получим:

∞

ст

′ ′ ′

eiæ1x′+iæ2 y′' +iæ3z′

′

′ ′

g1 (κ1

, κ2

, κ3 )=

∫ ∫ ∫ jmx (x , y , z ,ω)

dx dy dz

. (10)

(

2π)

−∞

κ1

+ κ2

+ κ3 − k

Таким

образом,

спектральная

плотность

g1(κ1,κ2,κ3)

разложении

Amxэ (p,ω) (8) найдена. Эта спектральная плотность представляется как тройной интеграл по пространству существования стороннего электрического тока jmxст .

Будем полагать, что сторонний ток существует в некотором ограниченном объеме V’, а в остальной части неограниченного пространства сторонний ток отсутствует (рис. 1).

Рис. 1. Ограниченный объем, содержащий сторонний ток

Тогда для краткости, выражение (10) можно записать так :

iκ

x′+iκ

y′+iκ

z′

g1 (κ1, κ2 ,κ3 ,ω)=

∫ jmxст (x′, y′, z′,ω)

dV ' ,

(11)

( 2π)

− k

V ′

κ1 + κ2

+ κ3

где dV’= dx’dy’dz’.

Подставляя выражение (11) в соотношение (8) и меняя местами порядок интегрирования, получаем

Amxэ (p,ω)= ∫ jmxст (x' , y' , z' ,ω)

			V '
		1	∞ e−iκ1(x−x′)−iκ2 (y−y′)−iκ3 (z−z′)
			∫−∞∫ ∫ κ12 + κ22 + κ32 − k2
		(2π)3
		(2π)3

dκ dκ	dκ			(12)
dκ dκ	dκ	3	dV ' ,
1 2		3

Выражение в квадратных скобках представляет собой функцию координат точки наблюдения p(x,y,z) и функцию координат x’, y’, z’, по которым производится интегрирование – координатам точки истоков q(x’, y’, z’). Отобразим эту функцию через G(x, y, z; x’, y’, z’):

	1	∞	−iκ1(x−x′)−iκ2 (y−y′)−iκ2 (z−z′)
G (p;q)=		∫−∞∫ ∫e		dκ1dκ2dκ3 .	(13)
	(2π)3		κ12 + κ22 + κ32 − k2
Тогда для составляющей векторного потенциала имеем
Amxэ (p,ω)= ∫ jmxст (q,ω) G( p;q)				dV '.	(14)
		V '

Выражение (14) представляет собой решение первого из уравнений (4). Решение остальных двух уравнений получается аналогично

Amyэ (p,ω)= ∫ jmyст (q,ω)G( p;q) dV ' ,

V '

(15)

Amzэ (p,ω)= ∫ jmzст (q,ω)G( p;q) dV ' .

Учитывая, что

V '

Aэ

= x

+ y

+ z

0 mx

0 my

jст

= x

jст

+ y

jст

+ z

jст

получаем из формул (14),(15) решение векторного уравнения Гельмгольца

Amэ (p,ω) = ∫jстm (q,ω)G( p;q)dV ′.	(16)
V '

Функцию G(p,q) называют функцией Грина неограниченного однородного изотропного пространства. Выражение (13) представляет функцию Грина в виде интегрального разложения. На практике часто используется так называемое свернутое представление функции Грина, которое получается из (13).

G( p;q) =

−ikRpq

(17)

4π

Rpq

где Rpq =

′

- расстояние между точками наблюде-

(x − x )

+ (y − y )

(z − z )

ния и истоков.

Приложение Вывод уравнения (1)

∂E

ст

×H = εа

+σE + j ;

∂t

×E = −µ

∂H

;

∂t

H = ×Aэ;

×(E +µa ∂( ×Aэ )

∂t )= 0 .

тогда

×E = −µa ∂( ×Aэ )

∂t , или

Введем еще одну вспомогательную функцию ϕэ( p,t) трического скалярного потенциала

×(E +µа ∂Aэ∂t )= ×(− ϕэ ) , E = − ϕэ −µа ∂Aэ∂t .

Из первого уравнения Максвелла имеем

×( ×Aэ )= εа

∂ϕэ

− εа µа ∂2 A2 э

− σ ϕэ −σµа

∂t

×( ×Aэ )= ( Aэ )− 2 Aэ .

Таким образом

+εа

∂ϕэ

− εа

µа

∂2 Aэ

∂t

+σϕ

∂t

2 −σµа

Применяя калибровку Лоренца

Aэ +εа ∂ϕ∂tэ +σϕэ = 0,

получаем уравнение (1).

Подставляя соотношение (16) в (2), получим

– мгновенное значение элек-

∂∂Atэ + jcm ,

∂∂Atэ + jcm .

∫[ 2G( p, q) + k2G( p, q)] jст (q) dV ′ = −jст ( p)

V ′ −δ( p−q)

или 2G( p, q) +k2G( p, q) = −δ( p −q) - дифференциальное уравнение для функции Грина.

Лекция № 26. Электромагнитное поле элементарного

электрического вибратора

Элементарным электрическим вибратором называют прямолинейный излучатель, длина которого много меньше длины волны возбуждаемого поля, а модуль и фаза линейной плотности электрического тока распределена по длине вибратора равномерно (рис.1).

Рис. 1. Элементарный электрический вибратор

Реализовать на практике распределение тока, близкое к равномерному, можно с помощью диполя Герца, представляющего собой два металлических шара, соединенных тонким проводом, к разрезу провода подсоединен, например с помощью двухпроводной линии, источник э.д.с. (рис.1а). Длина диполя много меньше длины волны излучаемого поля. Если напряжение в разрезе, создаваемое с помощью источника э.д.с., менять во времени по гармоническому закону, то заряды qэ(t) на шарах тоже меняются во времени по гармоническому закону. Распределение модуля и фазы электрического тока по длине диполя изза малой его длины является близким к равномерному. Длина разреза ∆ намного меньше длины диполя L, и поэтому можно считать, что провод непрерывен. Таким образом, диполь Герца является физической моделью элементарного электрического вибратора.

Рис. 2. К расчету поля электрического вибратора

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.09.20193.31 Mб82Конспект лекций по инженерной геодезии.doc
#
30.07.20192.69 Mб39Конспект лекций по предмету Теоретическая механ....rtf
#
27.09.2019843.78 Кб66Конспект лекций ТП (4 семестр).doc
#
09.09.20191.43 Mб13Конспект лекций целиком_.doc
#
15.08.20191.08 Mб22Конспект лекций Э.П.Басалаев.doc
#
10.05.20153.16 Mб333Конспект лекций Электродинамика и РРВ.pdf
#
20.11.2019507.39 Кб32Конспект лекций ЭП (по желанию).doc
#
10.11.20184.16 Mб28Конспект лекций.doc
#
14.11.2019988.67 Кб79КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ.doc
#
10.05.2015454.14 Кб11Конспект Лекций_ по Педагогике..doc
#
23.12.2018108.03 Кб7конспект нотариат.doc