Конспект лекций Электродинамика и РРВ

Проанализируем поле, возбуждаемое элементарным электрическим вибратором.

Расположим начало сферической системы координат в середине вибратора и направим ось z вдоль его оси (рис.2)

Линейный ток на вибраторе по условию представляется выражением

I Э(z) = I0Э = I0Э exp(iψ0 ),

где амплитуда I0Э и фаза ψ0 тока не зависят от z.

Из выражений (10) следует, что в общем случае вектор напряженности электрического поля прямолинейного излучателя имеет относительно радиальной координаты R продольную составляющую ЕR и поперечную составляющую Eϑ. Поэтому силовые линии электрического поля лежат в меридиональных плоскостях.

На практике особый интерес представляет знание поля на очень больших расстояниях от излучателя, таких, что R→∞(R L). Эту область простран-

ства называют дальней зоной или зоной излучателя.

Рассмотрим выражение для составляющей HR в дальней зоне. Расстояние Rpq между точкой интегрирования q и точкой наблюдения р в этом случае

Для множителя в подынтегральном выражении (7) получаем

Таким образом, в дальней зоне выражение (7) имеет вид

где F(ϑ) - величина, характеризующая зависимость напряженности поля от угла

ϑ.

Теперь можно найти выражения составляющих вектора E. Подставив Hϕ из (13) в (10), получаем при k R → ∞

величиной. Обычно значением Eϕ пренебрегают.

Поперечные составляющие векторов поля от ϑ зависят по закону F(ϑ), который как видно из формулы (13), определяется функцией распределения линейного тока по излучателю, длиной излучателя и коэффициентом распростра-

Если вибратор расположен в свободном пространстве (εa = ε0, µa = µ0), то мощность стороннего источника, подведенная к вибратору, расходуется на соз-

дание поля излучения и называется мощностью излучения Р∑ =∫Пср dS. В каче-

s

стве поверхности S выбираем поверхность любой сферы с таким радиусом ρ, чтобы S проходила в зоне излучения. Тогда

Вибратор для стороннего источника представляет нагрузку, в которой расходуется мощность PΣ. Сопротивление нагрузки, называемое сопротивлением излучения элементарного электрического вибратора, определяем из соотношения

При Lλ 1 сопротивление излучателя является малой величиной.

Лекция № 27. Интегральные соотношения для полей при наличии

поверхности раздела сред

При наличии поверхности раздела сред возникают следующие процессы: сторонние источники возбуждают в пространстве электромагнитное поле, которое, распространяясь по всем направлениям, достигает поверхности, ограничивающей заданный объем, и отражаются (рассеиваются) ею. При этом возникают волны, распространяющиеся в направлениях, обратных направлениям волн, бегущих от источников. В результате переотражений от поверхности раздела в объеме устанавливается некоторое результирующие поле. Физический процесс можно трактовать следующим образом. На поверхности раздела сред под воздействием первичного поля источников могут протекать вторичные поверхностные токи, которые, в свою очередь, возбуждают вторичное поле в объеме. Значения вторичных поверхностных токов должно зависеть от сторонних источников, от параметров среды, формы и граничных условий на самой поверхности раздела.

Пусть в объеме V0, ограниченном поверхностью S, задан в области V сторонний ток jст частоты ω, возбуждающей электромагнитное поле напряженности которого Е(p), H(p) надо определить, причем p V0 (рис.1). На поверхно-

сти S удовлетворяются заданные граничные условия. Для решения задачи используем лемму Лоренца

Рис. 1. К постановке внутренней электродинамической задачи

Примем j1ст = jст. Тогда Е1 = Е(р), Н1 = Н(р). Для того чтобы выразить напряженность электрического поля, введем в рассмотрение в точке р вспомогательный электрический диполь с единичным моментом (IL = 1), ток которого изменяется с той же частотой ω; диполь ориентируем вдоль единичного вектора а. Вспомогательный ток

Нэ(р,q) - возбуждаемые в точке q напряженности электрического и магнитного полей вспомогательного электрического диполя, расположенного в точке p.

Подставим значения токов и полей в выражение (1). Точка q является точкой наблюдения тока j2ст, поэтому при подставлении этого тока в интеграл по области V2 по координатам этой точки производится интегрирование. Используя основное свойство δ-функции во втором интеграле правой части и перенеся скалярное произведение аЕ в левую часть равенства, а поверхностный интеграл – в правую, получаем

Скалярное произведение аЕ позволяет определить любую составляющую вектора Е. Полагая, например, в сферической системе координат а равным, одному из ортов r0, ϑ0 или ϕ0, найдем составляющие Er, Eϑ или Eϕ. Естественно, что при этом электрический диполь в каждом случае ориентирован или вдоль орта r0, или ϑ0, или ϕ0. Поэтому каждому значению a соответствует свое вспомогательное поле Еэ, Нэ.

Будем считать, что Еэ, Нэ - поле вспомогательного диполя в неограниченном пространстве. Для однородного изотропного пространства это поле определенно на предыдущей лекции. Для неоднородного неограниченного пространства задача определения вспомогательных полей не всегда разрешима.

В выражении (3) интегрирование по объему при известных вспомогательных полях всегда может быть выполнено, так как сторонние токи являются заданными функциями координат. При этом в результате интегрирования получаем некоторую функцию от р. Переставив множители в смешанных произведениях векторов, поверхностный интеграл в последнем равенстве целесообразно представить в следующем виде

ставляющие векторов искомых полей на поверхности, то из выражения (3) следует, что касательные составляющие векторов искомого поля входят под знаки поверхностных интегралов и для того, чтобы найти искомое поле в произвольной точке p V0 , надо знать касательные составляющие векторов того же ис-

комого поля на ограничивающей поверхности S. В некоторых важных задачах электродинамики касательные составляющие векторов напряженности искомых полей на поверхностях S могут быть заданы с помощью приближенных представлений: на основе опытных данных, (на основе измерений) или вычислении путем приближенного решения задачи. Тогда в результате интегрирования по поверхности S получим некоторую функцию от р. Значит, вектор Е становится известной функцией. Другой вектор (Н) находится из уравнений Максвелла.

Если точку наблюдения р расположить надлежащим образом на поверхности S и определить составляющую вектора Е, касательную к поверхности, то из выражения (3) найдем, что искомая касательная составляющая вектора входит и под интеграл в правой части равенства. Таким образом получается инте-

гральное уравнение относительно неизвестной касательной составляющей вектора поля.

Введем в рассмотренные эквивалентные поверхностные токи.

Из этого выражения видно, что эквивалентные поверхностные токи в возбуждении поля играют ту же роль, что и сторонний ток. Но существенно то, что сторонние токи являются заданными функциями, а эквивалентные поверхностные токи появляются под воздействием полей сторонних токов.

Очень часто при решении практически важных задач электродинамики применяют теорему эквивалентных поверхностных токов. Для того чтобы по-

лучить исходные выражения, применяемые при этом для расчета векторов напряженности поля, и сформулировать теорему, предположим, что необходимо решить такую электродинамическую задачу, в которой заданы изолированные замкнутые поверхности S0, S1, S2 (может быть и ряд других поверхностей). Источники поля заданны в объемах V’ и V”, расположенных в общем случае на разных расстояниях от начала координат (рис.2, начало координат находится внутри объема V0).

Рис. 2. К доказательству теоремы эквивалентности

В формуле (6) интеграл распространяется по поверхности S0, S1, S2, обычно имеющим в реальных условиях сложную форму. Чем сложнее поверхности, тем сложнее процедура вычисления поля. Поэтому с целью упрощения вычислений применим следующий прием. Введем в рассмотрение некоторые

фиктивные поверхности S’ и S” так, чтобы в объеме ˆ , ограниченном поверх-

V

ностями S’ и S”, не оказалось сторонних источников поля (рис. 2б). Поверхности S’ и S” могут совпадать с S0, S1, S2, выбор их формы определяется стремлением возможно больше упростить решение поставленной задачи. Считаем,

ˆ

точников нет. Значит, уравнения Максвелла в области V являются однородными, поэтому в исходном выражении (6) объемный интеграл отсутствует, а поверхностный интеграл берется по S’ и S”. С учетом этого получаем

S '+S ''

Из выражения (7) следует, что электромагнитное поле в объеме, в котором отсутствуют сторонние токи, возбуждаются распределенными на ограничивающих объем поверхностях эквивалентными поверхностными токами. Если

ˆ

электромагнитное поле вне объема V можно каким либо методом найти, то тем самым определяется и касательные к поверхности составляющие векторов поля. По касательным составляющим с помощью выражений (5) вычисляют эквивалентные поверхностные токи.

Теорема эквивалентных поверхностных токов гласит: поле в свободной от источников области может быть создано электрическими и магнитными токами, распределенными по ограничивающей область поверхности, а в этом смысле действительные источники поля можно заменить «эквивалентными» поверхностными токами.

При вычислении составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей иногда используется интеграл Кирхгофа, количественно выражающий принцип Гюйгенса.

ˆ

Рассмотрим свободную от сторонних источников область V , ограниченную поверхностями S’ и S” (рис. 2б). Найдем интегральные выражения состав-

ˆ

ляющих векторов поля Е и Н в области V .

ˆ

Уравнения Максвелла в области V являются однородными, следовательно, уравнения Гельмгольца тоже являются однородными и для любой декартовой составляющей векторов поля (Еi и Hi) имеем

этого источника является функцией Грина G(p,q), удовлетворяющей уравнению

Умножим последнее уравнение, например, на Еi, а предыдущее (для Еi) – на G и вычтем первый результат из второго. Интегрируя полученное равенство

и меняя местами координаты точек р и q, имеем

Если поверхность S” отодвинута на бесконечность, то применяя условия изменения, имеем

В качестве функции G здесь может быть использована функция Грина неограниченного однородного трехмерного пространства

1 e−ikRpq

G(p,q)= 4π Rpq .

Выражение (11) позволяет по известным значениям Еi, и дЕi/дп на граничной поверхности определить функцию Еi во всех точках объема.

Следует иметь в виду, что задавать произвольно, не связанные друг с другом значения составляющих векторов поля и их нормальных производных производных на границе нельзя, так как эти значения строго связаны интегральным равенством, получающимся из (11), если точку р расположить на поверхности S’. Поэтому при приближенных вычислениях необходимо задавать составляющие поля и их нормальные производные, наиболее удовлетворяющие интегральному равенству при p S'.

Выражение (11) называют интегралом Кирхгофа. Оно дает количественную формулировку принципа Гюйгенса, согласно которому функция Еi, характеризующая интенсивность волнового процесса (удовлетворяющая скалярному уравнению Гельмгольца), в любой точке наблюдения является суперпозицией сферических волн, излучаемых элементарными источниками, распределенными на заданной поверхности (в частном случае являющейся поверхностью волнового фронта).

Если сравнивать интеграл Кирхгофа с выражением (7), учитывающим векторный характер поля, то можно сделать такой качественный вывод: составляющая вектора напряженности поля и ее нормальная производная на границе играют роль эквивалентных поверхностных токов; вспомогательные поля Еэ, Нэ играют роль функции Грина и ее нормальной производной. С помощью поверхностного интеграла в (7) или в (11) производится суммирование излучения элементарных источников, распределенных на ограничивающей объем поверхности. Функция Грина, описывающая излучение точечного источника, количественно характеризует поле распределенных на поверхности элементарных излучателей.