Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Сигналы_1.doc
Скачиваний:
38
Добавлен:
02.05.2015
Размер:
2.67 Mб
Скачать

§2.12. Случайные сигналы

Как указывалось ранее, детерминированный сигнал не может использоваться для передачи информации, так как получение информации основано на устранении априорной неопределенности состояний источника сообщений. Следовательно, детерминированный сигнал только тогда будет нести информацию, если он по некоторому закону распределения выбирается из множества возможных сигналов. Поэтому в качестве моделей сигналов необходимо использовать случайные функции (случайные процессы, если они зависят от времени).

Случайными функциями называют функции, которые в результате эксперимента могут принимать тот или иной конкретный вид, неизвестный заранее. Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате эксперимента, называют реализацией этой функции.

Несколько реализаций одной и той же случайной функции называют ансамблем или семейством реализаций этой функции.

Случайные функции, зависящие от нескольких аргументов, называют случайными полями. Случайные функции широко используются при моделировании различных объектов и процессов. При исследовании природных ресурсов примерами таких функций могут быть функции, ставящие в соответствии с координатами исследуемого участка поверхности значения яркости, или давления, или температуры и т.п. Как случайную функцию можно рассматривать профиль рельефа исследуемого участка поверхности.

Примерами случайных функций, зависящих от времени, которые называют случайными процессами, могут быть изменение температуры в данной точке с течением времени, внешние воздействия на летательный аппарат во время его полета и т.п.

Реальные детерминированные сигналы всегда содержат некоторые случайные составляющие, вызванные помехами, которые искажают форму сигнала. Математическая модель помехи так же может быть представлена в виде случайного процесса с определенными параметрами.

Статистические свойства помехи и сигнала, как правило, различны, что позволяет производить их разделение.

Рассмотрим некоторую случайную функцию . Предположим, что в результатеn независимых экспериментов получено n реализаций этой функции: . Каждая реализацияпредставляет собой обычную неслучайную функцию. Если зафиксировать некоторое значение аргумента , тобудет представлять собой случайную величину. Эту случайную величинуназывают сечением случайной функции, соответствующим данному значению аргумента . Вданном сечении получим n значений, принятых случайной величиной в экспериментах. Основными характеристиками, по которым можно провести классификацию случайных функций, является пространство состояний и статистические характеристики.

Пространством состояний называют множество возможных значений случайной величины .

Случайная функция, у которой пространство состояний представляет собой бесконечное множество значений, принадлежащих некоторому отрезку (континуим), а изменение состояний возможно при любом значении аргумента, называют непрерывной случайной функцией. Если же изменение состояний допускается лишь в конечном числе значений аргумента, то говорят о непрерывной случайной последовательности.

Случайная функция, принимающая конечное число различных значений и состояние которой может изменяться при любом значении аргумента, называется дискретной случайной функцией. Если же изменения состояний возможны только в конечном или счетном числе значений аргумента, то говорят о дискретных случайных последовательностях.

Иллюстрация реализаций указанных классов случайных функций представлена на рис.2.12, где

В соответствии с определением случайной функции и ее сечения любая случайная функция может быть описана совокупностьюn зависимых случайных величин, соответствующих ее сечениям при значении аргумента :

, ,…,. (2.93)

При , такая совокупность эквивалентна случайной функции .

Исчерпывающей характеристикой такой совокупности будет n-мерная плотность вероятности. Однако вычисление ее при больших n чрезвычайно затруднено, поэтому на практике ограничиваются одно или двумерной плотностью вероятности.

Одномерная плотность распределения вероятности случайной функции представляет собой закон распределения случайной величины, соответствующей сечению случайной функции при значении аргумента равном.

Двумерная плотность вероятности характеризует вероятность совместной реализации любых двух значений случайных величини, соответствующих сечениям случайной функции при значениях аргумента исоответственно. Двумерная плотность вероятности позволяет оценить скорость изменения случайной функции.

Практическое нахождение функций плотности вероятности даже низших порядков довольно трудоемко, поэтому в большинстве случаев ограничиваются определением простейших характеристик случайных функций, аналогичных числовым (статистическим) характеристикам случайных величин.

Действительно, так как каждое сечение случайной функции представляет собой случайную величину, то охарактеризовать все возможные реализации данной случайной функции можно с помощью числовых характеристик, используемых для случайных величин: математического ожидания () и дисперсии (). Тогда для сечения

; (2.94)

, (2.95)

где M - оператор математического ожидания;

D - оператор дисперсии;

- центрированная случайная величина.

Откуда при произвольном значении t

, (2.96)

. (2.97)

Математическим ожиданием случайной функции называется неслучайная функциякоторая при каждом значении аргументаt равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.

Дисперсией случайной функции называется неслучайная функция, значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции. Математическое ожидание случайной функции представляет собой некоторую среднюю функцию, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной функции, а дисперсия случайной функции характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно этой средней функции. На практике вместо дисперсии часто используют производную от нее функцию :

, (2.98)

которую называют средним квадратическим отклонением. Преимущества ее использования основаны на том, что ее размерность совпадает с размерностью случайных функций и случайных величин.

Следует отметить, что математическое ожидание и дисперсия случайной функции не позволяет получить представление о конкретном виде ее реализации, так как не позволяют оценить скорость ее изменения при изменении параметра. Чтобы охарактеризовать случайную функцию надо показать степень статистической зависимости между собой значений случайных величин и, представляющих собой сечения случайной функции при двух различных значениях аргумента t.

Степень зависимости двух случайных величин (X и Y) определяют их корреляционным моментом , который иногда называют ковариацией. Как известно,

. (2.99)

Для дискретных случайных величин корреляционный момент находится по формуле:

, (2.100)

где - значения, которые могут принимать случайные величины ;

и - математические ожидания этих случайных величин;

- вероятность того, что X примет значение , а Y - .

Для непрерывных случайных величин ковариация (корреляционный момент) находится по формуле:

, (2.101)

где - плотность распределения непрерывных случайных величин , а и- их математические ожидания.

С помощью корреляционного момента можно найти - коэффициент корреляции случайных величин X и Y:

, (2.102)

где и- средние квадратические отклонения величинX и Y.

Как известно,

. (2.103)

Случайные величины, для которых , называются некоррелированными. В соответствии с (2.102) для таких случайных величин также и коэффициент корреляции .

Для случайных функций вводится понятие корреляционной функции. Корреляционной функцией случайной функции называется неслучайная функция двух аргументов, которая при каждой паре значенийравна корреляционному моменту соответствующих значений случайной функции:

. (2.104)

Корреляционная функция используется для определения статистических связей как между отдельными сечениями одной случайной функции, так и между двумя различными функциями. В первом случае она часто называется автокорреляционной, а во втором - взаимнокорреляционной.

Как следует из (2.104) автокорреляционная функция не зависит от порядка своих аргументов:

. (2.105)

Если то

, (2.106)

то есть при автокорреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.