- •Журкин и.Г., Шавенько н.К.
- •Гл. 1. Сигналы
- •§1.1. Основные понятия и классификация
- •§1.2. Модуляция сигналов
- •§1.3. Непрерывные и импульсные модуляции
- •§1.4. Цифровая модуляция
- •§1.5. Дискретизация по уровню (квантование по уровню)
- •§1.6. Дискредитация (квантование) по времени или по текущей координате
- •§1.7. Шумы. Общие понятия
- •Гл. 2. Аналитическое моделирование сигналов
- •§2.1. Общие подходы к моделированию сигналов.
- •§2.2. Математические модели представления детерминированных одномерных сигналов
- •§2.3. Частотная форма представления детерминированных сигналов
- •§2.4. Математическое описание одномерных сигналов
- •§2.5. Распределение энергии в спектре периодического сигнала
- •§2.6. Преобразование Фурье.
- •§2.7. Основные свойства преобразования Фурье
- •§2.8. Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
- •§2.9. Корреляционные функции детерминированных сигналов
- •§2.10. Частотное представление импульсных сигналов
- •§2.11. Влияние импульсного модулятора на спектр входного сигнала
- •§2.12. Случайные сигналы
- •§2.13. Стационарные случайные функции
- •§2.14. Определение характеристик случайных функций по экспериментальным данным
- •§2.15. Эргодическое свойство стационарных случайных функций
- •§2.16. Спектральное представление случайных сигналов
- •§2.17. Частотное представление стационарных случайных сигналов
- •§2.18. Случайные поля при исследовании природных образований
- •§2.19. Математическое описание непрерывных двумерных сигналов на примере изображений
- •§2.20. Дискретное преобразование Фурье
- •Лабораторные работы. Лабораторная работа № 1. Модуляция сообщений.
- •Преобразование сигналов из временной в частотную область. Описание лабораторной работы выполнено с использованием программного
- •Литература
- •Оглавление
- •Глава 1. Сигналы. 4
- •Глава 2. Аналитическое моделирование сигналов. 23
§2.20. Дискретное преобразование Фурье
Как известно, при цифровой обработке сигнала непрерывные сигналы представляются в дискретной форме: в виде закодированных отдельных отсчетов. Рассмотренные выше методы частотного анализа использовались лишь для непрерывных сигналов, однако и при цифровой обработке широко используется частное представление сигналов, то есть перевод их из временной или пространственной области в область частот. Для этого применяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ), во многом аналогичное преобразованию Фурье, используемому для частотного анализа непрерывных сигналов.
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) определяет линейчатый спектр дискретизированной периодической функции времени или координаты. Обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру. ДПФ служит для анализа периодических функций и алгоритм этого преобразования можно получить исходя из рядов Фурье.
Пусть непрерывная периодическая функция с периодомT и частотой так что
, (2.199)
где m - целое число.
Тогда функцию можно разложить в ряд Фурье:
, , (2.200)
где коэффициенты разложения определяются из соотношения
. (2.201)
- комплексная величина и из нее можно определить амплитуду и фазу гармоник.
Из теории квантования известно, что однозначная дискретизация функции возможна лишь тогда, когда ее спектр ограничен, то есть
, при , (2.202)
где - значениеn, задающее частоту :
. (2.203)
В соответствии с теоремой Котельникова интервал дискретизации (расстояние между отсчетами) равен
, (2.204)
так что число отсчетов на период T будет N:
. (2.205)
В результате дискретизации получим периодическую функцию, которую нормализуем относительно :
. (2.206)
Эта функция определена на интервале
или .
Применим к этой функции преобразование Фурье, тогда
(2.207)
так как , а.
Поменяем знак суммы и интеграл местами и с учетом того, что
(2.208)
получим
. (2.209)
где - общее число отсчетов;
- отдельные отсчеты ;
- номер гармоники.
Обратное дискретное преобразование Фурье, соответственно, имеет вид:
. (2.210)
Тот факт, что спектр является периодическим, вытекает из периодичности любой дискретизированной функции, а дискретный характер спектра связан с тем, что сама дискретизируемая функция периодична. Выборки непрерывной функциии ее спектрпосле дискретизации представлены на рис.2.21.
Спектр, получаемый в результате ДПФ можно интерпретировать следующим образом. Первые точексоответствуютспектральным линиям спектра непрерывной функциина положительных частотах, как показано на рис.2.21в,г, а последниеточексоответствуютспектральным линиям на отрицательных частотах.
Вычисление дискретного преобразования Фурье производится по алгоритму
, (2.211)
где .
Нетрудно получить схему вычислений, позволяющую найти значений(дискретного спектра) позначениям отсчетов.
Пример такого алгоритма представлен на рис.2.22.
Представленный алгоритм очевиден, но он не оптимален, так как требует много вычислений.
Алгоритмы ДПФ, позволяющие достигнуть сокращения вычислительной нагрузки, известны под общим названием «быстрое преобразование Фурье». Следует подчеркнуть, что это не новое преобразование, а всего лишь способ выполнения ДПФ.