§2.13. Стационарные случайные функции
Случайные функции могут различаться по степени однородности протекания их в зависимости от значений аргумента. В общем случае их характеристики могут зависеть от начала отсчета координат, а, следовательно, от значений аргументов. Такие случайные функции принято называть нестационарными.
Нестационарные случайные функции наиболее приемлемы в качестве математической модели сигнала, однако использование их на практике затруднено. Поэтому с целью упрощения математического аппарата на случайные функции накладывают некоторые ограничения, делающие случайную функцию стационарной.
Случайная функция
называется стационарной в узком смысле,
если ее n-мерная
плотность вероятности не зависит от
начала отсчета параметра t.
На практике
приходится идти еще на большие ограничения,
рассматривая случайную функцию
стационарной в широком смысле.
Случайную функцию
называют стационарной в широком смысле
(или просто стационарной) если ее
математическое ожидание и дисперсия
не зависит от начала отсчета параметраt,
а
корреляционная функция зависит только
от разности между своими аргументами
,
то есть
,
(2.107)
,
(2.108)
.
(2.109)
Стационарность
функции предполагает ее существование
и статистическую однородность во всем
диапазоне изменения параметра t
от
до
.
Такое предположение противоречит
физическим свойствам реальных сигналов,
которые имеют ограниченную длительность.
Однако реальные случайные функции при
неизменных внешних условиях,
в установившемся режиме и на определенных
диапазонах изменения параметров с
некоторыми приближениями можно считать
стационарными.
Анализируя выражения
(2.107),
(2.108),
(2.109), можно
заключить,
что условие постоянства дисперсии
(2.108) является частным случаем требования
к корреляционной функции (2.109) при
,
так как исходя из (2.106)
.
(2.110)
Поэтому дисперсия
стационарной случайной функции является
постоянной величиной,
равной значению корреляционной функции
при
.
Из чего следует,
что случайная функция стационарна,
если выполняются условия (2.107) и (2.109).
Таким образом, решающим отличием
стационарных случайных функций от
нестационарных являются постоянство
математического ожидания и возможность
представления корреляционной функции,
зависящей только от одного аргумента.
Представляют интерес некоторые свойства корреляционных функций стационарных случайных функций.
Как следует из (2.109) корреляционная функция, построенная для стационарной случайной функции, является четной функцией своего аргумента:
.
(2.111)
Реальные случайные функции являются ограниченными, поэтому для реальных случайных функции справедливо выражение:
.
(2.112)
На практике удобно
пользоваться нормированной корреляционной
функцией
,
которая называется коэффициентом
корреляции.
Коэффициент корреляции определяется
следующим образом:
.
(2.113)
Причем, на основании (2.103)
,
(2.114)
а исходя из (2.113)
,
(2.115)
а, следовательно,
.
(2.116)