kotrolnaya_teoreticheskaya_mekhanika_dinamika

Решение.

1. Рассмотрим движение тела на участке АВ в заданной системе отсчета АX1Y1, приняв его за материальную точку (рис. 1.16).

Y1

X1

Рис. 1.16

Такое допущение обосновано тем, что тело совершает поступательное движение и, следовательно, уравнения его движения такие же, как и у точки.

2. Изобразим точку в системе отсчета АX1Y1 в произвольный момент времени t. При этом ее координата x1 = f(t) > 0 и точка движется в сторону возрастания этой координаты ускоренно. Следовательно, ускорение a имеет такое же направление, как и скорость V.

3.Согласно условию задачи при t0 = 0 начальная координата х10 = х1А = 0 и проекция начальной скорости x10= VA.

4.К точке приложим активную силу G – силу тяжести. Так как опорная поверхность точки шероховатая, то имеем две реакции: N – нормальная реакция; Ftr – сила трения скольжения. Силу Ftr направляют в сторону, противоположную направлению скорости V. Из курса статики известно, что силу трения и нормальную реакцию связывает соотношение Ftr = f·N.

5.Запишем основное уравнение динамики точки.

ma = ΣFi + ΣRi = G + N + Ftr.

Спроецировав это векторное выражение на координатные оси системы отсчета АX1Y1, получим дифференциальные уравнения движения точки:

где x1, y1 – проекции ускорения a на координатные оси.

Поскольку вектор a на ось AY1 не проецируется, то из уравне-

ния (2) имеем N = Gcosα = mgcosα. Отсюда Ftr = f·N = fmgcosα. Ана-

лизируя последнее равенство, сделаем вывод о том, что реакции N и Ftr не зависят от того, в каком кинематическом состоянии (покоя или движения) находится точка.

С учетом изложенного уравнение (1) приводится к виду mx1= Gsinα – Ftr = Gsinα – fNcosα =

= mgsinα – fmgcosα = mg(sinα – fcosα).

Упростим последнее выражение.

x1 = g(sinα – fcosα).

6. Дважды проинтегрируем последнее уравнение. x1 = g(sinα – fcosα)t + C1;

x1 = g(sinα – fcosα)t2/2 + C1t + C2,

где С1, С2 – постоянные интегрирования.

7. Определим постоянные С1, С2 подстановкой в последние уравнения начальных условий движения. При t0 = 0 имеем:

x10= VA = g(sinα – fcosα)t0 + C1;

x10= Х1A = 0 = g(sinα – fcosα)(t0)2/2 + C1t0 + C2.

Отсюда С1 = VA; С2 = 0. Окончательно имеем: x1 = g(sinα – fcosα)t + VA; x1 = g(sinα – fcosα)t2/2 + VAt,

где x1, x1 – соответственно текущие координата точки и проекция ее скорости на координатную ось АХ1.

Последние выражения справедливы для любого значения времени, пока точка движется по участку АВ. В момент времени τ движущееся тело находится в точке В участка АВ. Исходя из этого, получим систему двух уравнений.

VB = g(sinα – fcosα)τ + VA; l = g(sinα – fcosα)τ2/2 + VA τ.

Эта система уравнений содержит неизвестные τ и VB. Поскольку число уравнений равно числу неизвестных величин, то такую систему уравнений решают стандартными приемами и определяют VB и τ. После определения VB и τ рассматривают движение материальной точки на участке ВС ее траектории в системе отсчета ВХY (см.

рис. 1.15).

Если последнюю систему уравнений решить нельзя (число неизвестных превышает число уравнений равновесия), то так же пе-

42

реходят к рассмотрению движения точки на участке ВС в системе отсчета ВXY.

8.Рассмотрим движение точки на участке ВС в заданной системе отсчета ВXY.

9.Изобразим точку на траектории ее движения в произвольный момент времени (рис. 1.17).

X

Y

Рис. 1.17

10.Определим начальные условия движения точки на участке ВС. Согласно рис. 1.17 имеем: x0 = 0; x0= VBcosα; y0 = 0; y0= VBsinα.

11.На точку действует только одна активная сила G – сила тяжести. Реакций связей нет, поскольку сопротивление воздуха не учитывается.

12.Основное уравнение динамики для точки имеет вид

ось ВХ; С3 – постоянная интегрирования. Определим С3 по начальным условиям движения. При t0 = 0 имеем x0= VBcosα = C3. Так как x = const, то окончательно получим выражение x= VBcosα. Другими

43

словами, в любой момент времени проекция скорости на координатную ось ВХ постоянна, т. е. не зависит от времени.

Проинтегрировав последнее выражение, получим х = VBcosα·t + C4,

где С4 – постоянная интегрирования.

Определим эту постоянную по начальным условиям движения. При t0 = 0 имеем х0 = 0 = VBcosα·t0 + C4. Отсюда получим С4 = 0. Окончательно текущее значение координаты х точки находят по формуле

х = VBcosα·t.

Дифференциальное уравнение (4) движения точки приведем к виду y= g. Проинтегрируем это выражение и получим

y = gt + C5,

где y – текущее значение проекции скорости на координатную ось BY; С5 – постоянная интегрирования.

По начальным условиям движения имеем y0= VBsinα = gt0 + C5.

Отсюда С5 = VBsinα. Тогда y = gt + VBsinα.

Проведем интегрирование последнего выражения. y = gt2/2 + VBsinα·t + C6.

Определим постоянную интегрирования С6. При t0 = 0 имеем y0 = 0 = g(t0)2/2 + VBsinα·t0 + C6.

Тогда С6 = 0.

Текущее значение координаты y находят по формуле y = gt2/2 + VBsinα·t.

Таким образом, получаем выражения для определения текущих значений координат х, у и проекций x, y скорости точки при ее движении по траектории ВС. В момент времени Т, когда тело находится в точке С траектории его движения (см. рис. 1.17), эти выражения приобретают следующий вид:

xс= VBcosα; yс = gТ + VBsinα;

d = VBcosα·T; h = gT2/2 + VBsinα·T,

где xс, yс – проекции скорости VC на координатные оси; d, h – координаты точки С в системе отсчета ВXY.

По условию задачи требуется определить модуль скорости тела в точке С траектории его движения. Для этого используется

Таким образом, для определения неизвестных величин необходимо совместно решить следующую систему уравнений:

44

VB = g(sinα – fcosα)τ + VA; l = g(sinα – fcosα)τ2/2 + VA τ;

xс= VBcosα;

yс = gТ + VBsinα;

d = VBcosα·T;

h = gT2/2 + VBsinα·T;

Vc = (xc )2 +(yc )2 .

В этой системе уравнений неизвестными величинами являют-

ся: VB, τ, d, T, xс, yс, VC.

Таким образом, имеем семь уравнений, содержащих семь неизвестных.

Для координации вектора VC скорости тела в точке С пространства рекомендуется определить величину угла β, составленного направлением этой скорости с положительным направлением отсчета координаты х по формулам:

cos(VC, i) = xc/VC; β = arcos(xc/VC).

Результаты проведенных расчетов сводят в таблицу.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Сформулировать первый закон динамики (закон инерции).

2.Сформулировать второй закон динамики (закон пропорциональности силы и ускорения).

3.Сформулировать третий закон динамики (закон равенства действия и противодействия).

4.Сформулировать четвертый закон динамики (закон не-

зависимости действия сил).

5.Сформулировать определение понятия «инерциальная система отсчета».

6.Записать основное уравнение динамики несвободной ма-

териальной точки.

7.Записать дифференциальные уравнения движения не-

свободной материальной точки в декартовой системе отсчета.

8.Записать дифференциальные уравнения движения не-

свободной материальной точки в естественных координатных осях.

9.Сформулировать суть первой задачи динамики.

10.Сформулировать суть второй задачи динамики.

11.Как определяются постоянные интегрирования при решении второй задачи динамики?

45

2.КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ И ТЕЛА

2.1.Виды колебательных движений материальной точки

Колебательное движение материального тела происходит при условии, когда на него действует сила, стремящаяся вернуть его в положение статического равновесия. Такую силу называют восстанавливающей.

Восстанавливающая сила – сила, стремящаяся вернуть тело или точку в положение статического равновесия.

Примером такой силы является сила упругости Fyn пружины

(рис. 2.1).

Рис. 2.1

Рассмотрим движение тела весом G по гладкой горизонтальной поверхности в инерциальной системе отсчета OYZ. Начало системы отсчета поместим в положение статического равновесия тела. В этом случае пружина не деформирована и имеет размер l0. В положении статического равновесия (см. рис. 2.1,а) на тело действуют активная сила G (сила тяжести) и реакция N гладкой поверхности.

46

Если из исходного положения равновесия тело переместить на расстояние y0 и сообщить ему начальную скорость V0, то оно будет совершать поступательное движение.

Из курса кинематики известно, что уравнения поступательного движения тела такие же, как и уравнения движения точки. На основании изложенного движение этого тела можно рассматривать как движение материальной точки массой m = G/g, на которую действуют активная сила G (сила тяжести) и реакции N, Fyn внешних связей (рис. 2.1,б). В рассматриваемом случае основное уравнение динамики имеет вид

ma = ΣFi + ΣRi = G + N + Fyn.

Сила Fyn является реакцией деформированной пружины. Сила Fyn всегда направлена к положению статического равновесия точки. Из рис. 2.1 видно, что деформация пружины является переменной величиной и равна модулю координаты «y» точки в системе отсчета

OYZ.

Модуль силы упругости пропорционален ее деформации: Fyn = c·Δ = c·y,

где с – коэффициент жесткости пружины, численно равный силе упругости при ее деформации = 1 м.

Коэффициент жесткости является конструктивной характеристикой пружины. Этот коэффициент имеет размерность [Н/м].

Таким образом, сила Fyn упругости деформированной пружины всегда направлена к началу системы отсчета (положению статического равновесия точки) и пропорциональна величине отклонения точки от этого положения. Другими словами, сила упругости относится к разряду восстанавливающих сил, зависящих от положения точки.

Колебания могут происходить и под действием восстанавливающих сил, изменяющихся по другим законам.

В инженерных расчетах широкое применение получили четыре основных случая колебательного движения материальной точки:

1)свободные колебания, вызванные постоянной системой сил и восстанавливающей силой;

2)колебания, совершаемые под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости;

3)вынужденные колебания, осуществляющиеся под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону;

4)вынужденные колебания, происходящие под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы, силы сопро-

47

тивления движению, пропорциональной первой степени скорости, и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону.

Рассмотрим последовательно эти колебания.

2.2. Свободные колебания материальной точки

Свободные колебания происходят под действием постоянной системы сил и восстанавливающей силы.

Для получения дифференциальных уравнений колебательного движения точки воспользуемся расчетной схемой, приведенной на рис. 2.1,б.

Согласно рис. 2.1,б на точку действует постоянная система сил (G, N) и восстанавливающая сила Fyn. Дифференциальные уравнения движения точки имеют вид:

my= ΣFiоy + ΣRiоy = – Fyn = – cΔ = – cy; mz= ΣFiоz + ΣRiоz = – G + N.

В этих уравнениях y, z – проекции ускорения a соответствен-

но на координатные оси OY и OZ. Поскольку z = 0, то имеем N = G = mg. Таким образом, силы G и N образуют уравновешенную систему сил и, следовательно, эта система сил не влияет на параметры движения точки. Исходя из этого, расчетная схема для определения дифференциального уравнения движения точки упрощает-

ся (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Дифференциальное уравнение горизонтального движения точки представим в виде

y+ (c/m)у = 0.

Введем постоянный коэффициент k2 = c/m или k = c/m. Тогда имеем

48

y + k2y = 0.

Это выражение называют дифференциальным уравнением свободных колебаний материальной точки.

Коэффициент k называют циклической частотой свободных колебаний, который измеряют в рад/с или в с-1. Физический смысл коэффициента k – число полных колебаний за время t = 2π = 6,28 c.

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет два вида.

Первый вид:

y = C1coskt + C2sinkt,

где С1, С2 – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения.

Пусть при t0 = 0 точка имеет координату y0 и проекцию y0 ско-

рости V0 на ось ОY. Тогда уравнение свободных колебаний точки получит вид

y = y0coskt + (y0/k)sinkt.

Второй вид:

y = Asin(kt + β),

где А и β – постоянные интегрирования; А – амплитуда свободных колебаний; (kt + β) – фаза колебаний; β – начальная фаза колебаний.

По заданным начальным условиям движения точки (y0, y0) по-

стоянные интегрирования определяют по следующей совокупности формул:

A = (y0 )2 +(y0/k)2 ; sinβ = y0/A; cosβ = y0/(Ak); tgβ = ky0/y0.

На рис. 2.3 представлен общий вид графика свободных колебаний точки.

Рис. 2.3

49

При изучении свободных (гармонических) колебаний широко используют понятия «амплитуда А», «период Т свободных колебаний».

Амплитуда свободных колебаний – величина наибольшего отклонения точки от положения статического равновесия.

Период свободных колебаний – отрезок времени, за кото-

рый точка проходит положение статического равновесия в одном и том же направлении.

Период свободных колебаний определяют по формуле

T = 2π/k = 2π/c/m.

Анализ формулы показывает, что период свободных колебаний Т является постоянной величиной. С возрастанием массы m точки период Т увеличивается и соответственно уменьшается при увеличении коэффициента «с» жесткости пружины.

Следует отметить, что свободные колебания не затухают. Для практических расчетов рекомендуется использовать фор-

мулу

y = Asin(kt + β).

В инженерной практике довольно часто рассматривают колебательное движение тела, подвешенного на пружинах или установленного на них. Если начало системы отсчета поместить в положение статического равновесия груза, то эти колебания также сводятся к свободным колебаниям точки, дифференциальное уравнение движения которой имеет стандартный вид y + k2y = 0 и, следовательно, стандартное решение.

2.3. Дифференциальное уравнение движения точки под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и силы сопротивления движению

Рассмотрим движение материальной точки по гладкой горизонтальной поверхности, происходящее под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости (рис. 2.4).

Как и ранее, начало системы отсчета поместим в положение статического равновесия точки. В этом положении пружина не деформирована, т. е. имеет длину l0. При оформлении рис. 2.4 используются рекомендации, приведенные в алгоритме решения вторых задач динамики точки.

50