kotrolnaya_teoreticheskaya_mekhanika_dinamika

132

135

136

ПРИМЕЧАНИЕ. Знак минус перед Mz и ω соответствует направлению вращения часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси OZ.

137

5.3.6. Пример выполнения курсового задания Д 3

Условие задания.

Тело Н массой m1 вращается вокруг вертикальной оси O1Z1 с постоянной угловой скоростью ω0 (рис. 5.12).

Z1

O1

Рис. 5.12

В точке О желоба АВ тела Н на расстоянии АО от точки А, отсчитываемом вдоль желоба, находится материальная точка К массой m2 (на рис. 5.12 точки О и К не показаны). В некоторый момент времени (t0 = 0) на систему начинает действовать пара сил с моментом Mz = Mz(t). При t = τ действие пары сил прекращается.

Определить угловую скорость ωτ тела Н в момент t = τ.

138

Тело Н вращается по инерции с угловой скоростью ωτ.

В некоторый момент времени (t1 = 0, где t1 – новое начало отсчета времени) точка К (самоходный механизм) начинает относительное движение из точки О вдоль желоба АВ (в направлении от А к В) по закону ОК = s = s(t1).

Определить угловую скорость ωТ тела Н при t1 = T. Тело Н рассматривать как однородную пластинку.

Дано: m1 = 20 кг; m2 = 5 кг; ω0 = 5 рад/с = const; a = 0,6 м; R = 0,6 м; АО = 0 м; Mz = – 6,3t0,5 Нм; τ = 4 с; OK = s(t1) = (5πR/6)t1 м; Т = 1с.

Решение.

К решению задачи применим теорему об изменении кинетического момента механической системы, выраженную уравнением

dLо1z1/dt = ΣMо1z1(FiE ) + ΣMо1z1(REi ),

где Lо1z1 – кинетический момент механической системы относительно оси вращения; ΣMо1z1(FiE ), ΣMо1z1(REi ) – соответственно суммы моментов активных сил и реакций внешних связей относительно оси вращения.

Решение задачи разобьем на три этапа. На первом этапе рассмотрим движение механической системы в исходном положении; на втором этапе – движение этой системы в момент времени τ; на третьем этапе – движение механической системы в момент времени Т.

Первый этап.

В исходном положении тело Н (тело 1 массой m1), на котором неподвижно (на расстоянии АО = 0 м) установлено тело 2 (самоходный механизм массой m2), вращается с постоянной угловой скоро-

стью ω0 (см. рис. 5.12).

Введем неподвижную (инерциальную) систему отсчета O1X1Y1Z1, совместив ось O1Z1 с осью вращения тела 1. Покажем на рис. 5.13 направление вращения тела 1 с угловой скоростью ω.

Внимание!

Независимо от знака начальной угловой скорости ω0 направление вращения тела 1 на рис. 5.13 рекомендуется

показывать против хода часовой стрелки. Это позволит решать задачу в общем виде для любого направления

вращения тела 1. Частные решения будут получены при подстановке в общее решение исходных данных задачи.

Определим положение центра С2 масс тела 2 на теле 1. Поскольку АО = 0, то точки А, О и С2 совпадают. Центр масс тела 2 описывает окружность, расположенную в горизонтальной плоскости. Центр этой окружности находится на оси вращения. Покажем на

139

рис. 5.13 траекторию движения этого центра масс, а также векторы абсолютной скорости Vc2 и количества движения m2Vc2. Эти векторы приложены в точке С2 и направлены противоположно направлению координатной оси O1X1.

VC2

Рис. 5.13

Определим кинетический момент L01z1 механической системы относительно оси вращения O1Z1 по формуле

L01z1 = L01z1(1) + L01z1(2),

где L01z1(1), L01z1(2) – соответственно кинетические моменты тел 1 и 2 относительно оси вращения O1Z1.

Величину L01z1(1) вычисляют по формуле

L01z1(1) = Jo1z1(1)ω,

где Jo1z1(1) – момент инерции тела 1 относительно оси вращения. Поскольку по условию задания тело 1 – однородная прямо-

угольная пластина, то имеем Jo1z1(1) = m1a2/3 (см. табл. 4.1). Тогда

L01z1(1) = (m1a2/3)ω = (20·0,62/3)ω = 2,4ω.

140