kotrolnaya_teoreticheskaya_mekhanika_dinamika

Таким образом, центр масс механической системы движется как материальная точка массой, равной массе всей системы, к которой приложены внешние силы (активные силы и реакции внешних связей).

Проецированием последнего векторного равенства на координатные оси системы отсчета OXYZ получим дифференциальные уравнения движения центра масс механической системы:

mxc = ΣFioxE + ΣREiox ; myc = ΣFioyE + ΣREioy ;

mzc = ΣFiozE + ΣREioz,

где ΣFioxE , ΣFioyE , ΣFiozE , ΣREiox , ΣREioy , ΣREioz – суммы проекций соот-

ветственно активных сил и реакций внешних связей на координатные оси инерциальной системы отсчета.

Из последних уравнений следует, что внутренние силы не влияют на движение центра масс неизменяемой механической системы.

Следствия из теоремы о движении центра масс

1. Если геометрическая сумма активных сил и реакций внешних связей постоянно равна нулю (ΣFiE + ΣREi = 0), то центр масс механической системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Таким образом, если ΣFiE + ΣREi = 0, то ac = 0, т. е. Vc = const. Если начальная скорость Vс0 центра масс равна нулю, то центр масс находится в покое. Если же Vс0 ≠ 0, то центр масс движется прямолинейно и равномерно с этой скоростью.

2. Если суммы проекций активных сил и реакций внешних связей на какую-либо ось остаются все время равными нулю, то проекция центра масс механической системы на эту ось неподвижна или движется равномерно.

Действительно, если ΣFioxE + ΣREiox = 0, то xc = 0, т. е. хс = const. Если при этом в начальный момент времени хс0 = 0, то хс = 0,

хс = const, т. е. координата хс центра масс остается постоянной. Следствия из теоремы о движении центра масс выражают за-

кон сохранения движения центра масс механической системы.

111

С помощью теоремы о движении центра масс механической системы решают задачи, в которых рассматривается только поступательная часть движения тел, образующих механическую систему.

Рекомендуется следующий алгоритм решения задач.

1.Выбирается система отсчета.

2.К механической системе прикладываются все активные силы и реакции внешних связей.

4.Вычисляются суммы проекций активных сил и реакций внешних связей на оси системы отсчета и подставляются в последние выражения.

5.В зависимости от условий решается прямая либо обратная задача динамики.

Поскольку для заочной формы обучения курсовых заданий на

использование теоремы о движении центра масс механической системы не предусмотрено, то примеры решения таких задач в данном учебно-методическом пособии не приведены.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Сформулировать теорему о движении центра масс механической системы.

2.Записать векторную формулу, выражающую теорему о движении центра масс механической системы.

3.Записать дифференциальные уравнения движения центра масс механической системы в декартовой сис-

теме отсчета.

4.Сформулировать первое следствие из теоремы о движе-

нии центра масс механической системы.

5.Сформулировать второе следствие из теоремы о движе-

нии центра масс механической системы.

112

5.2. Теоремы об изменении количества движения материальной точки и количества движения механической системы

5.2.1. Теорема об изменении количества движения материальной точки

В этой теореме используются понятия «количество движения» и «импульс силы». Введем эти понятия.

Количество движения материальной точки – векторная мера механического движения, равная произведению массы точки на ее скорость.

Рассмотрим движение материальной точки массой m в инерциальной системе отсчета OXYZ (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Согласно определению вектор количества движения mV имеет такое же направление, как и вектор скорости V точки. Количество движения mV является векторной мерой механического движения. Количество движения имеет размерность [кг·м/с].

Рассмотрим движение материальной точки под действием силы Pi в инерциальной системе отсчета OXYZ (рис. 5.3).

Рис. 5.3

В теоретической механике используют понятие «элементар-

ный импульс силы».

Элементарный импульс силы – векторная мера действия силы, равная произведению силы на элементарный промежуток времени ее действия.

Si = Pi ·Δt,

где Si – элементарный импульс силы; Pi – сила; Δt – элементарный промежуток времени.

Равнодействующая системы сил, действующих на точку, определяется по формуле P = ΣPi.

Если постоянная по модулю и направлению сила Pi действует на точку в течение промежутка времени Δt = t2 – t1, то элементар-

ным импульсом силы за конечный промежуток времени явля-

ется вектор

Si = Pi·Δt = Pi·(t2 – t1).

Направление этого вектора совпадает с направлением силы, а его модуль равен произведению модуля силы на время ее действия:

Si = Pi·(t2 – t1).

В общем случае импульс Si силы Pi за промежуток времени Δt = (t2 – t1) определяется векторным интегралом от вектора Pi по скалярному аргументу t:

Si = ∫ Pidt.

Импульс силы за конечный промежуток времени – вели-

чина, равная определенному интегралу от элементарного импульса силы, где пределами интеграла являются моменты начала и конца данного промежутка времени.

Импульс равнодействующей Р нескольких сил Pi за неко-

торый промежуток времени равен геометрической сумме импульсов соответствующих сил за этот же промежуток времени.

S= ΣSi.

Впроекциях на координатные оси имеем:

Sох = ΣSiоx; Sоу = ΣSiоy; Sоz = ΣSiоz.

Проекция импульса равнодействующей на ось системы отсчета равна алгебраической сумме проекций импульсов составляющих сил на ту же ось.

Теорема об изменении количества движения материаль-

ной точки в дифференциальной форме выражается формулой d(mV)/dt = P.

114

Производная по времени от количества движения материальной точки геометрически равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке.

Теорема об изменении количества движения материаль-

ной точки в интегральной (конечной) форме приобретает вид mV2 – mV1 = ΣSi.

Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени.

Эту теорему называют также теоремой импульсов. Последнему векторному равенству соответствуют три уравне-

ния в проекциях на оси системы отсчета OXYZ:

mV2оx – mV1оx = ΣSiоx; mV2оy – mV1оy = ΣSiоy; mV2оz – mV1оz = ΣSiоz.

Изменение проекции количества движения материальной точки на координатную ось за некоторый промежуток времени равно сумме проекций на ту же ось импульсов, приложенных к точке сил за тот же промежуток времени.

Большинство практических задач решается по уравнениям в проекциях на оси координат.

5.2.2. Теорема об изменении количества движения механической системы

Рассмотрим движение неизменяемой механической системы под действием активных сил FiE , реакций REi внешних связей и внут-

ренних сил RiJ в инерциальной системе отсчета OXYZ (рис. 5.4).

Количество движения механической системы – величина,

равная сумме количеств движения всех материальных точек, образующих механическую систему.

Количество движения K механической системы определяют по формуле

K = ΣmiVci = mVc.

Это выражение показывает, что вектор количества движения механической системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Проецируя последнее векторное равенство на координатные оси, получим:

Kох = mVcоx; Kоу = mVcоy; Kоz = mVcоz,

115

где Vcоx, Vcоy, Vcоz – проекции скорости центра масс механической системы на координатные оси.

Проекция количества движения механической системы на каждую координатную ось равна произведению массы системы на проекцию скорости центра масс на эту же ось.

Рис. 5.4

Теорема об изменении количества движения механиче-

ской системы выражается векторным равенством dK/dt = ΣFiE + ΣREi .

Производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме активных сил и реакций внешних связей.

Последнему векторному равенству соответствует три уравнения в проекциях на координатные оси:

dKoz/dt = ΣFiozE + ΣREioz.

Производная по времени от проекции количества движения механической системы на координатную ось равна сумме проекций активных сил и реакций внешних связей.

116

Необходимо отметить, что изменение количества движения механической системы вызывается только внешними силами, к которым относятся активные силы и реакции внешних связей.

Следствия из теоремы

1. Если геометрическая сумма внешних сил, приложенных к механической системе за рассматриваемый промежуток

времени, равна нулю (ΣFiE + ΣREi = 0), то количество движения механической системы постоянно: K = const.

Действительно, если ΣFiE + ΣREi = 0, то dK/dt = 0 и, следова-

тельно, K = mVc = const.

2. Если сумма проекций активных сил и реакций внешних связей на координатную ось за рассматриваемый промежуток времени равна нулю, то проекция количества движения механической системы на эту ось постоянна.

Так, например, если ΣFioxE + ΣREiox = 0, то dKox/dt = 0 и, таким об-

разом, Kox = mVcox = const.

Следствия из теоремы об изменении количества движения механической системы выражают закон сохранения количества движения системы.

Так как для заочной формы обучения курсовых заданий на использование теоремы об изменении количества движения механической системы не предусмотрено, то и примеры решения таких задач в данном учебно-методическом пособии не приведены.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Сформулировать определение понятия «количество дви-

жения материальной точки».

2.Сформулировать определение понятия «импульс силы за промежуток времени».

3.Записать формулу для определения импульса силы за промежуток времени.

4.Записать формулу для определения импульса равнодей-

ствующей нескольких сил, действующих на точку.

5.Записать теорему импульсов в векторной форме.

6.Записать теорему импульсов в скалярной форме.

7.Сформулировать определение понятия «количество дви-

жения механической системы».

8.Записать теорему об изменении количества движения механической системы в векторной форме.

117

9.Записать теорему об изменении количества движения механической системы в скалярной форме.

10.Сформулировать следствия из теоремы об изменении количества движения механической системы.

5.3.Теоремы об изменении момента количества движения материальной точки и об изменении кинетического момента механической системы

5.3.1. Моменты количества движения материальной точки относительно центра и оси

Рассмотрим движение материальной точки в горизонтальной плоскости OXY (рис. 5.5).

Рис. 5.5

Момент количества движения mV точки М относитель-

но центра О представляет собой вектор L0, направленный перпендикулярно к плоскости, проходящей через вектор mV и центр О в ту сторону, откуда видно, что вектор mV поворачивает горизонтальную плоскость относительно оси, проходящей через центр О, против хода часовой стрелки.

Момент количества движения материальной точки от-

носительно центра – величина, равная векторному произведению радиус-вектора материальной точки, проведенного из этого центра, на количество движения.

Согласно рис. 5.5 момент количества движения L0 можно определить векторным произведением радиус-вектора r, проведенного из точки О в точку М, на вектор количества движения mV:

L0 = r×mV.

118

Модуль L0 вектора L0 равен произведению величины mV на плечо h вектора mV относительно центра О:

L0 = mVh.

Плечо h вектора mV количества движения точки отно-

сительно центра – кратчайшее расстояние от точки О до линии действия вектора mV.

Момент L0 количества движения mV относительно точки О равен нулю в том случае, когда линия действия вектора mV проходит через точку О, так как тогда плечо h = 0.

Рассмотрим случай движения точки в пространстве (рис. 5.6).

Рис. 5.6

Дадим определение понятия «момент количества движе-

ния точки относительно оси».

Момент количества движения точки относительно оси – величина, равная проекции на ось момента количества движения точки относительно любого выбранного на данной оси центра.

Согласно определению имеем

Lox = Locos(Lo, i),

где Lox – проекция вектора Lo на ось ОХ.

При решении практических задач пользоваться этой формулой неудобно. Поэтому поступают следующим образом.

119

Вектор mV количества движения разлагают на компоненты mVx, mVy, mVz по соответствующим координатным осям.

Момент количества движения mV точки относительно оси – величина, равная алгебраической сумме моментов компонентов mVx, mVy, mVz вектора mV относительно этой оси.

Если компонент вектора mV вызывает вращение тела против хода часовой стрелки, то момент количества движения этого компонента относительно оси положителен, и отрицателен при противоположном условии. При этом на тело необходимо смотреть с положительного направления отсчета соответствующей координаты.

Аналитические выражения для определения моментов Lox, Loy, Loz количества движения относительно соответствующих координатных осей OX, OY, OZ имеют вид:

Lox = mz·y – my·z; Loy = mx·z – mz·x; Loz = my·x – mx·y,

где x, y, z – координаты движущейся точки; x, y, z– проекции скорости точки на оси координат.

5.3.2. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

Рассмотрим движение материальной точки М, входящей в механическую систему, в инерциальной системе отсчета (рис. 5.7).

Пусть точка движется в горизонтальной плоскости XOY под действием активных сил FiE , реакций REi внешних связей и внутренних сил RiJ .

Равнодействующую Р этих сил определяют по формуле

Р = ΣFiE + ΣREi + ΣRiJ .

Теорему об изменении момента количества движения материальной точки механической системы выражают век-

торным равенством:

dL0/dt = ΣM0(FiE ) + ΣM0(REi ) + ΣM0(RiJ ).

Производная по времени от момента количества движения материальной точки механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно того же центра.

120